Нерівності: описати всі допустимі значення

Як змінюється знак нерівності, що означають відкриті межі та чим перетин відрізняється від об’єднання: приклад бюджету й два прості доведення.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.7 хв читанняЧастина 16 з 51

На матеріали є 560 грн, доставка коштує 80 грн, один набір — 60 грн. Скільки наборів можна замовити? Рівність знайде точне витрачання бюджету, а нерівність опише всі замовлення, які в нього вкладаються.

Потрібні дійсні числа та рівняння. Усі наведені величини умовні.

Від обмеження до множини

Нехай $n$ — кількість наборів. Умова $80+60n\le560$ означає «витратити не більше ніж 560». Віднімаємо 80, ділимо на додатне 60: $n\le8$ . Модель вимагає також цілого $n\ge0$ . Відповідь — $\{0,1,2,\ldots,8\}$ ; нуль означає відмову від замовлення, без фактичної доставки. Якщо замовити хоча б один набір обов’язково, лишаються числа 1–8. Дев’ять наборів коштували б 620 грн.

Для довільної дійсної змінної $x\le8$ відповіддю був би промінь $(-\infty,8]$ . Квадратна дужка включає межу, кругла виключає. Нескінченність не число на прямій, тому біля неї завжди кругла дужка. Строге $x<8$ вже не включає 8.

Чому від’ємний множник перевертає знак

Додати однакове число до обох частин — означає зсунути обидві точки на однакову відстань. Їхній порядок збережеться. Додатне масштабування теж зберігає порядок; множення на −1 віддзеркалює пряму: $2<5$ , але $-2>-5$ .

Тому $7-2x>1$ дає $-2x>-6$ , а після ділення на −2 — $x<3$ . Перевірка: $x=2$ дає $3>1$ , межа $x=3$ дає заборонену рівність. Множити на змінний вираз без відомого знака так само не можна: спочатку потрібні випадки його знака. Множення на нуль узагалі знищує інформацію. Властивості нерівностей, OpenStax §2.7.

«І» та «або» дають різні множини

Умови $x>1$ і $x\le4$ виконуються разом на $(1,4]$ : це перетин. Для $x>1$ або $x\le4$ досить хоча б однієї умови, тому об’єднання — вся дійсна пряма. Система нерівностей означає «і». Запис $1<x\le4$ — та сама система у стислому вигляді.

Перетин: обидві умови

(1, ∞) ∩ (−∞, 4] = (1, 4]

Об’єднання: хоча б одна

(1, ∞) ∪ (−∞, 4] = ℝ

Відкрита точка виключає 1; заповнена включає 4. Сірі тонкі лінії — вся дійсна пряма, кольорові товсті — вибрані значення. Шкала рівномірна.

Окремий приклад: $x<0$ або $x\ge3$ дає $(-\infty,0)\cup[3,\infty)$ . Проміжок між 0 та 3 не заповнюється. Якщо ж вимагати $x<0$ і $x\ge3$ одночасно, перетин порожній: $\varnothing$ .

Відгалуження · Доведення межіКвадрат завжди невід’ємний.

Як довести оцінку для всіх x

Для кожного дійсного $x$ маємо $(x-3)^2\ge0$ . Розкриваємо дужки: $x^2-6x+9\ge0$ , звідки $x^2-6x+11\ge2$ . Рівність досягається при $x=3$ , тому 2 — точна нижня межа, тобто мінімум. Перевірка десяти окремих чисел такого доведення для всіх $x$ не замінила б.

Відгалуження · СередніЛише для двох невід’ємних чисел a і b.

Арифметичне середнє не менше за геометричне

З $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ випливає $a+b-2\sqrt{ab}\ge0$ . Отже $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ , з рівністю лише при $a=b$ . Наприклад, для 4 та 9 арифметичне середнє 6,5, геометричне — 6. Це AM–GM для двох чисел; умови $a,b\ge0$ потрібні вже для дійсних квадратних коренів.

Щоб прочитати відповідь, поверніться до кожної початкової умови: чи належить межа множині, чи потрібні всі умови разом і чи дозволяє задача довільні дійсні значення. Саме ці питання перетворюють символ нерівності на точний опис можливого.