Teñsizlikler: bütün yol berilgen qıymetlerni tasvirlemek

Malzemeler içün 560 para birimi bar. Teslim etüv 80, bir taqım ise 60 tura. Qaç taqım ısmarlamaq mümkün? Teñleme bütçeni tam sarf etüvni tapa; teñsizlik ise bütçege sığğan bütün siparişlerni tasvirley.

Aqiqiy sayılar ve teñlemeler kerek. Fiyatlar şartlıdır.

Çeklevden kümege

$n$ — taqımlar sayısı olsun. $80+60n\le560$ şartı «560-tan ziyade sarf etmemek» demek. 80-ni çıqarıp, musbet 60-qa bölemiz: $n\le8$ . Model daa bütün $n\ge0$ sayısını talap ete. Cevap $\{0,1,2,\ldots,8\}$ ; sıfır siparişten vazgeçmek ve teslimat olmaması demek. İç olmazsa bir taqım kerek olsa, 1–8 qala. Toquz taqım 620 turar edi.

Aqiqiy $x$ içün $x\le8$ cevabı $(-\infty,8]$ nurudur. Kvadrat qavs uçnı qoşa, yuvarlaq qavs çıqara. Sonsuzlıq doğru üzerindeki sayı degil; onıñ yanında er vaqıt yuvarlaq qavs bar. Qattiy $x<8$ ise 8-ni qoşmay.

Menfiy çarpan işaretni neden çevire

Eki tarafqa birdey sayı qoşmaq eki noqtanı birdey aralıqqa köçüre ve tertipni saqlay. Musbet miqyaslav da tertipni saqlay; −1-ge çarpmaq doğrunı aks ettire: $2<5$ , amma $-2>-5$ .

Böylece $7-2x>1$ bizge $-2x>-6$ bere; −2-ge bölgen soñ $x<3$ ola. Teşkerüv: $x=2$ içün $3>1$ ; $x=3$ ucunda ise yol berilmegen teñlik çıqa. İşareti bilinmegen deñişken ifadege çarpmaq içün evvel işaret alları ayırılmalı. Sıfırğa çarpmaq malümatnı yoq ete. Teñsizlik hususiyetleri, OpenStax §2.7.

«Ve» ile «Yaki» başqa kümeler bere

$x>1$ ve $x\le4$ şartları beraber $(1,4]$ aralığında doğru: bu kesişmedir. $x>1$ yaki $x\le4$ içün şartlardan biri yeter; birleşme bütün aqiqiy doğrudır. Teñsizlikler sisteması «ve» demek. $1<x\le4$ aynı sistemanı qısqa yaza.

Kesişme: eki şart da

(1, ∞) ∩ (−∞, 4] = (1, 4]

Birleşme: iç olmazsa biri

(1, ∞) ∪ (−∞, 4] = ℝ

Açıq noqta 1-ni çıqara; tolu noqta 4-ni qoşa. İnce sızıq — aqiqiy sayılar, qalın renkli sızıq — seçilgen qıymetler. Miqyas birdey adımlı.

Başqa misal: $x<0$ yaki $x\ge3$ cevabı $(-\infty,0)\cup[3,\infty)$ . 0 ile 3 arasındaki boşluq tolmay. $x<0$ ve $x\ge3$ beraber talap etilse, kesişme boştır: $\varnothing$ .

Dal · Sınırnı isbatlamaqKvadrat er vaqıt menfiy degil.

Er bir x içün bahalavnı nasıl isbatlamaq mümkün

Er bir aqiqiy $x$ içün $(x-3)^2\ge0$ . Qavs açılğanda $x^2-6x+9\ge0$ , demek $x^2-6x+11\ge2$ . Teñlik $x=3$ -te ola; 2 — irişilgen aşağı sınır, yani minimum. On ayrı sayını teşkermek bütün $x$ içün isbatnı deñiştirmez.

Dal · OrtalarYalñız menfiy olmağan eki a ve b sayısı içün.

Arifmetik orta geometrik ortadan kiçik degil

$(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ -dan $a+b-2\sqrt{ab}\ge0$ çıqa. Demek $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ ; teñlik yalñız $a=b$ olğanda. 4 ve 9 içün arifmetik orta 6,5, geometrik orta 6. Bu eki sayı içün AM–GM teñsizligi. Aqiqiy kvadrat kökler içün daa $a,b\ge0$ kerek.

Cevapnı er başlanğıç şartnen qarşılaştırıñız: uç kümege kiremi, bütün şartlar beraber kerekmi, mesele er türlü aqiqiy qıymetke yol beremi? Bu sualler teñsizlik işaretini mümkün qıymetlerniñ tam tasvirine çevire.