Sızmada üç sızıq az qala bir noqtada birleşe. Bu sızma hatasımı, yoqsa tam hususiyetmi? Bu qoşma derste dört teorema ayrı şeylerni teşkere: ortaq kesişüv, bir sızıqta yatuv, çemberde uzunlıqlar ve merkezler. Ana kurs içün bu ders ög şart degil.
Ög şartlar: medianalar ve yükseklikler, çemberge içten sızılğan dörtköşelikler, beñzerlik, meydanlar.
Çeva: üç çeviana bir noqtada kesişe
Bozulmağan ABC üçköşeliginde D,E,F uyğun olaraq BC,CA,AB taraflarınıñ içinde yatsın. AD,BE,CF sızıqları bir noqtada kesişmesi içün zarur ve yeterli şart:
(BD)/(DC) ⋅ (CE)/(EA) ⋅ (AF)/(FB) = 1.
Bunlar müsbet uzunlıq nisbetleri. BD/DC=2 ve CE/EA=2 bolsa AF/FB=1/4 kerek, 1/2 degil. A(0;0), B(9;0), C(0;6) içün D(3;4), E(0;2), F(9/5;0) alamız. Üç sızıq da P(9/7;12/7)-den keçe.
Niçün çarpım? P ortaq noqta bolsa BD/DC meydanlar PAB/PCA nisbetine, CE/EA — PBC/PAB-ğa, AF/FB — PCA/PBC-ge teñ; uyğun üçköşeliklerniñ teñ yüksekliklerinden çıqa. Üç kesir qısqarıp 1 bere. Tersine, ilk eki çeviananı kesiştirelim: kerek nisbet AB üstünde birden-bir iç F noqtasını belgiley, demek üçünci sızıq P-den keçmeli.
Çeva: iç noqtalar ve +1 çarpımı
Menelay: taraf devamı, −1 çarpımı
Ptolemey: çemberde 8×6 tüzköşelik
Eyler: O, G, H y=2-de
Menelay: üç noqta bir sızıqta yata
Şimdi D,E,F BC,CA,AB sızıqlarında, töpelerden başqa yerlerde ola bile. Yönlü kesim [UV] — B→C, C→A, A→B yönlerinde V−U koordinata farqıdır. U ve V-niñ yerini deñiştirmek işaretni tersine çevirir. İç bölüniş nisbeti müsbet, tış bölüniş menfiy.
Menelay kriteriyi: D,E,F bir sızıqta yatması içün zarur ve yeterli şart ([BD]/[DC])·([CE]/[EA])·([AF]/[FB])=−1. Evvelki D(3;4), E(0;2)-ni qaldırıp F(−3;0) alayıq. DE sızığınıñ teñlemesi y=2x/3+2, F onıñ üstünde. Çarpım 2·2·(−1/4)=−1.
İşaretsiz uzunlıqlar +1 berir edi; işaret taraf devamında yatuvnı saqlay. Eki anlaşuvnı qarıştırmañız. Yuqarıda Çeva qasten iç noqtalar içün aytıldı: umumiy yönlü variantta +1 çarpımı üç parallel çeviananı da mümkün ete, soñlu ortaq noqta şart degil.
Ptolemey: diagonallar ve qarşı taraflar
Çemberge içten sızılğan qabarıq dörtköşelikniñ ayrı A,B,C,D töpeleri çember boyunca sırada adlandırılsa:
AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA.
Öz 8×6 tüzköşeligimizde diagonallar 10: 10·10=8·8+6·6. Pifagorğa uyğundur. Tüzköşelik çemberge sıya, amma er dörtköşelik degil; çember şartını ve arifler sırasını taşlamañız. Bu teñlik uzunlıqlarnı teşkere, üç sızıqnıñ ortaq kesişmesini degil.
Eyler sızığı: üç merkez
Teñtaraflı olmağan üçköşelikte tıştan sızılğan çember merkezi O, tsentroid G ve ortotsentr H bir sızıqta yata, OG:GH=1:2. Teñtaraflı alda üçü de üst-üstke kele ve tek bir sızıq belgilemey. İç çember merkezi umumiy alda bu tizimde yoq.
A(0;0), B(8;0), C(2;6) içün O(4;2), G(10/3;2), H(2;2). Üçü de y=2-de; OG=2/3, GH=4/3. Koordinatalar öz misalimizni teşkere, umumiy teorema delil talap ete.
Dal · Formulalarnenİhtiyariy · ög şart: G021 vektorlar
Qısqa vektor delili
O-nı başlanğıç alayıq. Töpe vektorları a,b,c-niñ uzunlıqları R. h=a+b+c noqtası içün (h−a)·(b−c)=(b+c)·(b−c)=|b|²−|c|²=0. Demek, noqta A-dan yükseklikte; başqaları içün de aynı, o H-dir. Tsentroid vektorı g=(a+b+c)/3, demek h=3g: G O ile H arasında, OH-nı 1:2 nisbetinde böle. Sıfır olmağan mesafeler içün teñtaraflı al çıqarıla. Mında h yükseklik degil, noqta vektorı.
Evvel ne isbatlamaq kerekligini belgileñiz, soñ teorema şartlarını teşkeriñiz. Az qala doğru sızma teñlikni ve ortaq kesişüv delilini deñiştirmey.
Menbalar ve sıñırlar
Merzlâk ve Yakir, 8 sınıf geometriyası, qoşma metinler, basma s.116–119,126–127,199–200; tam PDF betleri research-te. Bağımsız metinler: Çeva/Menelay içün Wayne Bishop §4.3, Ptolemey içün St Andrews universiteti, merkezler içün AMSI. Misaller, koordinata sızmaları ve teşkerüvler özümizniki; vektor dalı G021-ni qullana.