Fener direginiñ yüksekligini doğrudan-doğru ölçemek qıyın, amma kölgesi yerde yata. Yanına yüksekligi belgili qısqa vertikal çubuq qoymaq mümkün. Eki kölgeni qıyaslamaq direk aqqında neden bir şey bildire?
Beñzer üçköşeliklerniñ uyğun köşeleri eş, uyğun tarafları nisbetlidir. Beñzerlik doğru belgilengen soñ, bir bilinmegen uzunlıqnı digeri vastası ile, obyektke doğrudan-doğru yetişmeden de tapmaq mümkün. Üçköşeliklerniñ eşligi ve nisbetli kesikler kerek olacaq.
Evvel uyğunlıq, soñ bölüv
ABC∼PQR yazısı A↔P, B↔Q, C↔R uyğunlığını bere. AB-ge PQ, BC-ge QR, CA-ğa RP uyğun kele. Bunı sızmada angi tarafnıñ «altta» olğanı degil, uclarındaki eş köşeler belgiley.
Koeffitsiyentni ABC-den PQR-ge esaplamağa añlaşayıq:
k = (PQ)/(AB) = (QR)/(BC) = (RP)/(CA) > 0.
Sızmada 3–4–5, 6–8–10-ğa keçe, demek k=2. Ters yönde koeffitsiyent 1/2. k=1 olsa, üçköşelikler eştir. Aylanma ya da ayna aksi beñzerlikke mania degil; tek gorizontal yönde sozuv ise ekseriyetle onı boza. AMSI.
ABC ∼ PQR, k = 2
Kölgeler: eş köşeler, miqyas 4
Er şeyni birden teşkermek kerek degil
Degeneratsiyasız üçköşelikler içün bir alâmet yeterli:
- AA, eki köşe boyu. Bir üçköşelikniñ eki köşesi digeriniñ eki köşesine uyğun olaraq eş. Üçünci köşeler de eş, çünki cemi 180°. Evklid VI.4.
- SAS, eki taraf ve aralarındaki köşe boyu. Eki uyğun taraf çiftiniñ nisbetleri aynı, şu taraflar arasındaki köşeler eş. VI.6.
- SSS, üç taraf boyu. Uyğun taraflarnıñ bütün üç nisbeti aynı. VI.5.
AA isbatınıñ fikri: büyük üçköşelikniñ bir tarafında kiçik üçköşelikniñ uyğun taraf uzunlığını ayırıp, diger tarafqa parallel keçiremiz. Kesilip alınğan üçköşelik nisbetli kesikler ve eş köşeler sayesinde büyük üçköşelikke beñzer; tarafı ve bitişik köşeleri boyu kiçik üçköşelikke eştir. Demek, kerekli nisbet bütün üç tarafqa aittir.
Tek eki nisbetli taraf şekilni belgilemey: aralarındaki köşeni deñiştirmek mümkün. Tek bir eş köşe de yeterli degil. SAS-ta kerekli köşeni istengen diger köşe ile deñiştirmek olmaz.
Daa neler k kere deñişe?
Uyğun yükseklikler, medianalar, bissektrisalar ve perimetrler taraflar kibi miqyaslana. Meselâ, 3+4+5=12, 6+8+10=24-ke keçe. Yükseklikler içün sebep: uyğun töpe ve uyğun tarafqa perpendikulâr beñzer dik üçköşelikler yapa. Köşelerni k-ge çarpmaymız: olar deñişmey.
Bu söz uzunlıqlarğa aittir. Meydanlarnıñ başqa miqyas qanunı bar; onı meydan dersinde ögrenecekmiz.
Kölgeden yükseklik: model ne vaqıt doğru?
Yüksekligi h, kölgesi s olğan çubuq ve yüksekligi H, kölgesi S olğan direk içün şunı farz etemiz:
- Ekisi de bir yerli gorizontal tegizlikte vertikal tura.
- Kölgeler aynı vaqıtta, esasından uyğun ucuna qadar ölçengen, başqa kölgeler ile örtülmegen.
- Bu kiçik yerde küneş şavlelerini parallel dep alamız.
O vaqıt şavleler bergen bir aynı keskin köşeli eki dik üçköşelik bar. AA boyu olar beñzer, demek:
(H)/(h) = (S)/(s), H = h(S)/(s).
h=1,5 m, s=2 m ve S=8 m olsa, H=1,5·8/2=6 m. Evel bütün uzunlıqlarnı aynı birimlerge keçiremiz. Yarıqnıñ parallelligi — yaqınlaştırmadır; er bir menbanıñ er şavlesi aqqında iddia degil. Yaqın lampa içün bu delil avtomatik şekilde keçerli olmaz. Illustrative Mathematics: şartlar ve sıñırlar.
Tam olmağan ölçevlerge dürüst cevap
Tek bu esap içün h=1,5 m tam, kiçik kölge 1,95–2,05 m, büyük kölge 7,9–8,1 m arasında olsun. Eñ kiçik esaplanğan yükseklik eñ qısqa büyük kölge ve eñ uzun kiçik kölgeden çıqa; eñ büyük yükseklik — tersinden:
H_(min) = (1,5 ⋅ 7,9)/(2,05), H_(max) = (1,5 ⋅ 8,1)/(1,95).
Sıñırlarnı tışqa doğru santimetrge yuvarlağanda 5,78–6,24 m alamız. Bu, eki uzunlıqnıñ berilgen hatalarına köre diapazondır, statistik güven intervali degil. Direkniñ qıyalığı, tegiz olmağan yer ve çubuq yüksekliginiñ hatası oña kirmegen. Şunıñ içün aqiqiy ölçev üç sayını çarpmadan evel farazlarnı teşkerüvden başlana.