Piramida biçimli qapaqnıñ qıyıq yüzüne yüzey boyunca üçköşelik yüksekligi kerek. Onıñ yerine bütün cisimniñ vertikal yüksekligini alsaq, material yetmez. Öz kvadrat piramidamıznı qurıp üç ayrı kesikni ayırayıq: yükseklik, apofema ve yan qıra.
Piramidanıñ bir töpesi esas tüzleminden tışta
Ög şartlar: çoqköşelik meydanı, tüzlemge normaller, kesimler, prizmalar ve açılımlar.
Tüz qabarıq çoqköşelik ve onıñ tüzleminden tışta P noqtasını alamız. P-ni töpelerge birleştirsek piramida alına: çoqköşelik — esas, ortaq P töpeli üçköşelikler — yan yüzler. n-köşeli piramidada n+1 yüz, n+1 töpe, 2n qıra bar: n esas ve n yan qıra. Üçköşeli piramida tetraedrdir; «tetraedr» öz-özünden bütün qıraları teñ degeni degil.
h yüksekligi — P-den esas tüzlemine endirilgen PH perpendikulyarınıñ uzunlığı. Rastkele piramidada H çoqköşelikten tışta ola bile. Bu yan qıra ya da üçköşeli yüzniñ yüksekligi degil.
Piramida muntazam, eger esası muntazam çoqköşelik ve H onıñ merkezi olsa. O vaqıt yan qıralar teñ, yan yüzler teñ teñyanlı üçköşelikler: merkezden töpelerge mesafeler teñ, Pifagor teñ yan qıralar bere, soñ üç tarafqa köre üçköşelikler teñligi işley.
Bir modelde üç kesik
Tarafı 8 cm ABCD kvadratı, merkezi H ve H üstünde PH=3 cm yükseklikte P töpesi olsun. M — AB ortası. Muntazam piramidada PAB yüzüniñ PM yüksekligi l apofeması dep adlandırıla. O AB-ge perpendikulyar ve yan yüzde yata. Muntazam piramidanıñ bütün apofemaları teñdir.
Yükseklik h, apofema l, qıra b
PHM kesimi aqiqiy miqyasta
Parallel kesim: t=1/2
Kvadratta HM=4 cm, HA=4√2 cm. PHM ve PHA H-te tik üçköşeliklerdir, şunıñ içün:
l = √((3)^(2) + (4)^(2)) = 5 cm.
Yan qıra PA=√(3²+(4√2)²)=√41≈6,40 cm. Demek h=3, l=5, PA≈6,40 cm — ayrı büyüklikler. PAB yüzüniñ özünde PA²=PM²+MA²=25+16=41 teşkerüvi de aynı neticeni bere.
Umumiy alde muntazam piramidada l²=h²+r², mında r — esasqa içten sızılğan çember radiusı. Yan qıra içün tıştan sızılğan çember radiusı R qullanıla: b²=h²+R². Tek «esas radiusı» demek yetmey.
Muntazam üçköşeli piramidanıñ esası teñtaraflı, töpesi merkez üstünde, amma yan qıraları esas taraflarına teñ olmaq mecburiyetinde degil. Tek bütün altı qıra teñ olsa, yüzleri teñtaraflı üçköşelikler olğan muntazam tetraedr alına.
Meydan — üçköşelikler ve esas toplamı
Piramidamıznıñ bir yan yüzü 8·5/2=20 cm². Dört yüz 80 cm² bere. Umumiy alde esas perimetri Pbase olğan muntazam piramida içün:
S_(lat) = (P_(base) l)/(2).
Bu bütün esas tarafları içün aᵢl/2 toplamıdır; ortaq apofemanı qavus tışına çıqaramız. Tam meydan bir esasnı qoşa: 80+8²=144 cm². Prizmada eki esas bar edi; bu adetni piramidağa köçürsek artıq meydan qoşarmız.
Tüpsüz qapaq içün sıfır qalınlıq modelinde tek 80 cm² yan meydan kerek. Tikişler, yapıştırma qulaqları ve artıqlar berilmegen. Rastkele piramidada er yüzni öz lᵢ yüksekliginen esaplap aᵢlᵢ/2-ni toplaymız. h-ni l yerine qoymaymız; muntazamlıq ya da yüz yükseklikleriniñ teñligine ayrı delil olmadan ortaq apofema farz etmeymiz.
Kesimler miqyasnı deñiştire
P töpesi ve esas diagonalından keçken tüzlem üçköşeli diagonal kesim bere. Esasqa parallel ve onıñ ile P arasında olğan tüzlem esasqa beñzer çoqköşelik bere. P-den kesim tüzlemine mesafe bütün yükseklikniñ t payı olsa, 0<t<1, uzunlıqlar t-ge, meydan t²-ge deñişe. Bu yan qıralardan keçken tüzlemlerdeki üçköşelikler beñzerliginden çıqa.
Töpeden yükseklikniñ yarısında piramidamıznıñ kesimi tarafı 4 cm, meydanı 16 cm² kvadrat ola. Bu 64 cm²-niñ çeyregi, yarısı degil. Prizmada er yükseklikte aynı kesim olur edi; piramida darala.
İhtiyari esaplavAsıl piramida ve onıñ meydanı yuqarıda añlatıldı.
Dallanma · Kesilgen muntazam piramida
t=1/2 parallel kesimden soñ üst kiçik piramidanı çıqarayıq. Qalğan qısımnıñ esas tarafları 8 ve 4 cm, vertikal yüksekligi 1,5 cm; apofeması büyük apofemadan qalğan s=5−2,5=2,5 cm. Yan yüzler teñ teñyanlı trapetsiyalar. Kiçik piramidanıñ yan meydanı t²·80=20 cm² olur edi, demek qalğanı 80−20=60 cm².
Umumiy Sfrustum=(Pbig+Psmall)s/2 formulası algebraik da çıqa: Pl/2-den (tP)(tl)/2-ni çıqarıp P(1+t)·l(1−t)/2 alamız. Bu perimetrlerniñ ortasınen kesilgen qısım apofemasınıñ çarpımıdır. Bizde (32+16)·2,5/2=60; 64+16 esaslarnen tam meydan 140 cm². Formula muntazam asıl piramida ve parallel kesim talap ete; rastkele kesilgen şekil içün bu şartlar avtomatik degil.
Menbalar ve sıñırlar
Yükseklik, muntazam piramida, apofema ve meydan toplamı tarifleri: Merzlâk ve ortakları, 2019, 18 bölük, s.109–112. Qoşma AMSI, Cones, Pyramids and Spheres yüz yüksekligini Pifagornen tapuvnı ve yüz meydanları toplamını añlata. 8 cm kvadrat, 3 cm yükseklik, kesim ve sızmalar özümizniki; tarihiy piramida ölçevleri degil. Kölem G034-ke ait.