Odanıñ yassı planında (2;1) döşemedeki belgini de, onıñ üstündeki çıraqnı da añlata bile. Üçünci sayı eki manalılıqnı yoq ete. Bir sade sahnede noqta, yer deñiştirme, tüzlem ve küreni tarifleyik; bütün eki ölçüli kursnı tekrarlamaymız.

Üçünci koordinata ve doğru mesafe

Ög şartlar: tüzlem koordinataları, vektorlar, tüzlem areketleri, fezaviy doğrular, köşeler ve mesafeler.

Ortaq O başı ve aynı metr birligi olğan üç bir-birine perpendikulyar x,y,z oqını saylaymız. Oqlarnı sağ el qaidesine köre yöneltemiz. x ve y döşemede, müsbet z yuqarığa baqa. P(x;y;z) üçlügi mevqini belgiley; döşemeden aşağıda z menfiy ola bile. xy,xz,yz koordinata tüzlemleriniñ teñlemeleri sırasınen z=0,y=0,x=0. Koordinata oqında bir degil, eki koordinata sıfır olmalı.

A(1;1;1), B(3;2;3) olsun. Koordinata farqları 2,1,2. Evvel döşemede Pifagor gorizontal yer deñiştirmeniñ kvadratını 2²+1²=5 bere; soñ yükseklik farqınıñ 2² kvadratını qoşamız. Demek AB=√9=3 m. Umumiy alde:

d = √((x_(B) − x_(A))^(2) + (y_(B) − y_(A))^(2) + (z_(B) − z_(A))^(2)).

Kesik ortası er koordinatanıñ ortasını ala: M(2;1,5;2). P=A+t(B−A), 0≤t≤1, kesikni AP:PB=t:(1−t) nisbetinde böle. t=1/3 içün P(5/3;4/3;5/3) ve 1:2 nisbetini alamız. t — yolnıñ payı, metr uzunlığı degil.

Vektorlar: aynı ameller, bir daa komponent

A-dan B-ge u vektorınıñ koordinataları u=(2;1;2). O B noqtasınıñ özüni degil, mevqi deñişüvini tarifley. Qoşuv, çıqaruv ve sayınen çarpuv komponentler boyunca yapıla: v=(1;−2;0) içün u+v=(3;−1;2), 2u=(4;2;4). u uzunlığı √(2²+1²+2²)=3.

Skalâr çarpımğa da üçünci qoşulıcı qoşula:

u ⋅ v = u_(x)v_(x) + u_(y)v_(y) + u_(z)v_(z) = ∣u∣ ∣v∣cos⁡θ.

Bizim misalde 2·1+1·(−2)+2·0=0, demek sıfır olmağan u ve v perpendikulyar. Sıfır vektornıñ köşesi belgilenmegen, amma er vektornen çarpımı sıfırdır. Doğrularnıñ sıfır olmağan yönelişleri içün kiçik φ köşesi cos φ=|u·v|/(|u||v|) ile tapıla; yöneltilgen vektor köşesinde modul qoyulmay.

Üçünci koordinata ve orta M

xyzA(1;1;1)B(3;2;3)MuO

Normal: Q−H=n

H(1;2;2)Q(2;4;4)nα: x + 2y + 2z = 9

Küre: H ve Q-dan keçken kesim

HQ3 mnα
İlk eki panel öz 3D-koordinatalarımızdan esaplanğan şertli parallel proektsiyalar; piksellerden uzunlıq ve köşe oqumaymız. Birincide kesik sızıqlar yer deñiştirme komponentlerini ve B-ni xy-ge endirüvni körsete, M=(A+B)/2; AB=3 m. Ekincide üçköşelik sonsuz α-nıñ tek bir parçası, H∈α, Q=H+n, |n|=3. Köşe belgisi aqiqiy fezaviy tik köşeniñ proektsiyası. Üçünci panel HQ-nı içerip α-ğa perpendikulyar kesim tüzleminiñ özü: teñ 40 px/m miqyasta merkezi H, radiusı 3 m küreniñ büyük çemberi ve H-ten keçken α izi körüne. Bu kesimdir, perspektiv siluet degil.

Doğru ve tüzlem: teñlemelerni qarıştırmamaq

A-dan u yönünde keçken doğru bir ortaq t parametri ile berile: x=1+2t, y=1+t, z=1+2t, t∈ℝ. t=0-da A, t=1-de B. t-ni 0 ile 1 arasında sıñırlasaq kesik alına. Yöneliş komponenti sıfır olsa, o koordinata sabit: v içün z=const. Doğrunıñ simmetrik yazuvında sıfırğa bölmeymiz.

n=(a;b;c)≠0 olğanda bir ax+by+cz=d sızıqlı teñlemesi tüzlemni belgiley, fezaviy doğrunı degil. n — tüzlemniñ normali. Niçün? Tüzlemniñ X,X₀ noqtaları teñlemelerini çıqarsaq n·(X−X₀)=0 alına: tüzlem içindeki er yer deñiştirme n-ge perpendikulyar. Eki bağımsız sızıqlı şart tüzlemler kesişüvi olaraq doğru belgiley bile.

α: x+2y+2z=9, n=(1;2;2) olsun. H(1;2;2) α-ğa ait. Q(2;4;4)=H+n alayıq. QH=|n|=3 m; QH tüzlemge perpendikulyar, demek Q-dan α-ğa eñ qısqa mesafe. Q-nı qoysaq 9 degil 18 çıqa: o aqiqaten tüzlemden tışta.

Q(x₀;y₀;z₀)-dan ax+by+cz=d-ge umumiy mesafe |ax₀+by₀+cz₀−d|/√(a²+b²+c²). Aqiqaten, tüzlemdeki X₀ ve perpendikulyar ayağı H içün n·(Q−X₀)=n·(Q−H), çünki n·(H−X₀)=0. |n|-ge bölmek birim normalğa proektsiya bere. Modul taraf saylavınıñ tesirini yoq ete, bölüci normalni birimleştire. Öz misalimizde |18−9|/3=3 m. Nisbetli normaller parallel ya da üst-üste kelgen tüzlemlerni añlata; qatiy ayırmaq içün oñ taraflarnı da teşkeremiz.

Küre yüzü — sabit mesafe şartı

C(a;b;c) merkezinden r>0 mesafedeki bütün noqtalar küre yüzüni teşkil ete. Mesafe formulası deral bere:

(x − a)^(2) + (y − b)^(2) + (z − c)^(2) = (r)^(2).

Meselâ (x−1)²+(y−2)²+(z−2)²=9 — merkezi H, radiusı 3 m küre yüzü; Q oña ait. = yerine ≤ qoysaq, sıñırınen beraber içi tolu küre alına. z=2 tüzleminde bu yüz (x−1)²+(y−2)²=9 çemberini bere; fezada çemberniñ teñlemesine z=2-ni de qoşmaq kerek. Yüz, cisim ve tüz çemberni küre mevzusında tafsilâtlı ayırırmız.

Qoşma koordinata misalleriYuqarıdaki noqta, doğru, tüzlem ve küre tarifleri artıq tamamdır.

Dallanma · Feza deñiştirmeleri

(p;q;r)-ğa köçirüv (x+p;y+q;z+r) bere. xy-den aynaviy aks (x;y;−z), O-ğa köre merkeziy simmetriya (−x;−y;−z) bere. z oqına köre simmetriya — (−x;−y;z) yarım aylanuvıdır, tüzlemde aynaviy aks degil. Müsbet z oqı etrafında sağ el qaidesi boyunca 90° aylanuv (−y;x;z) bere. Er al eki noqta arasındaki mesafeni saqlay: koordinata farqlarını üç kvadrat toplamına qoyuñız. Mında oqlarnı degil, koordinata sistemindeki noqtalarnı areket ettiremiz.

Merkezi O, k≠0 olğan gomotetiya (kx;ky;kz) bere; uzunlıqlarnı |k|-ge, meydanlarnı k²-ge, kölemlerni |k|³-ge çarpa. k=±1-de bu areket, başqa k-lerde miqyas deñişüvidir. Bu G023-niñ fezaviy devamı, koordinatanı yoq etken proektsiya degil.

Menbalar ve sıñırlar

Mektep tarifleri ve deñiştirmeler: İster, 10-ncı sınıf geometriyası, §§13–19. Qoşma olaraq AMSI, Three-dimensional coordinate geometry — koordinatalar, orta, doğru ve tüzlem; Purdue, Lines and Planes — yöneliş, normal ve simmetrik yazuv sıñırları. Öz noqtalarımız ve esaplarımız ayrı teşkerildi. Bütün metrik formulalar aynı birimli tik koordinata sistemine aittir; 3D-redaktordaki rastkele tor bu şartlarnı garantiya etmey.