Çarpanlarğa ayıruv: ifadeniñ qurulışını körmek

$2x^3-8x$ ifadesinde neticeni sıfır yapqan $x$ qıymetleri gizli. $2x(x-2)(x+2)$ yazılışı ise üç imkânnı deral köstere: $0$ , $2$ , $-2$ . İfadeniñ qıymeti deñişmedi; yañı şekil kerek hususiyetni körmege yardım ete.

Bu çarpanlarğa ayıruv: çoqazalını oña aynen teñ çarpım ile deñiştirmek. Bu amel çoqazalılarnı çarpmağa ters yönde kete ve qısqa çarpım formullarını qullana.

Evvel ortaq qısımnı qıdırmaq

$2x^3-8x$ -niñ eki azasında da $2x$ çarpanı bar. Dağıtuv qanunını tersine oquymız:

2x^3-8x=2x(x^2-4).

Qavusta er başlanğıç azanı qaytarmaq içün $2x$ -ni nege çarpmaq keregi qala. $x=0$ olğanda da teñlik doğrudır: biz teñlemeni meçul $x$ -ke bölmeymiz, çoqazalını çarpım qanunınen qayta yazamız.

Şimdi $x^2-4$ kvadratlarnıñ farqıdır; netice $2x(x-2)(x+2)$ . Çoq vaqıt usullarnı birleştirmek kerek.

Üç satır da aynı çoqazalıdır. Alt oqlar er deñişicili çarpannıñ sıfırını x ile bağlay; sabit 2 iç bir vaqıt sıfır olmaz.

$6a^2b+9ab^2$ içün qolay ortaq çarpan $3ab$ : koeffitsiyentlerniñ ortaq bölücisi 3, er eki azada eñ az bir $a$ ve bir $b$ bar. Netice $3ab(2a+3b)$ . Qayta çarpmaq başlanğıç toplamnı bere; bu teşkerüv tahminimizge bağlı degil.

Gruppalav ortaq çarpannı aça

$xy+3x+2y+6$ -da dört azağa da ortaq deñişicili çarpan yoq. Amma eki çift aynı qavuslarnı bere:

xy+3x+2y+6=x(y+3)+2(y+3).

Şimdi ortaq çarpan bütün $y+3$ ifadesidir; netice $(x+2)(y+3)$ . İlk adımda tekrarlanğan qavus çıqsa, gruppalav faydalıdır; azalarnı rastkele bölmek bunı garantiya etmez.

İşaretni de baqmaq kerek: $a(u-v)+b(v-u)=a(u-v)-b(u-v)=(a-b)(u-v)$ . $u-v$ ve $v-u$ birdey degil, bir-birine qarşı ifadelerdir. OpenStax §1.5-te usullar ve teşkerüv.

Çarpım sıfırlarnı neden aça

İfadeniñ sıfırı — ifadeni sıfır yapqan deñişici qıymetidir. Aqiqiy sayılarnıñ çarpımı sıfır olması içün ve tek o vaqıt eñ az bir çarpan sıfır olmalı. Epsi sıfırdan farqlı olsa, çarpımları da sıfırdan farqlıdır.

$2x(x-2)(x+2)$ -de sabit 2 sıfır olmaz. $x=0$ , $x-2=0$ ya da $x+2=0$ qala; yani $x=0,2,-2$ . Başlanğıç ifadege qoyuv üçüni de tasdıqlay. $x=1$ içün eki şekil de −6 bere, amma bir teşkerüv er $x$ içün teñlikni isbatlamaz; bunı doğru deñiştirmeler zıncırı yapa.

Kökler tapılğandan soñ kvadrat üçazalı

$a\ne0$ olğan $ax^2+bx+c$ içün kök formulı ve Viyet umumiy usul bere. Aqiqiy $x_1,x_2$ kökleri bar olsa (çift kökni eki kere yazamız), $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Baş koeffitsiyent $a$ yoğalmamalı.

Meselâ, $2x^2-14x+20$ kökleri 2 ve 5, demek $2(x-2)(x-5)$ . Toplamları 7 koeffitsiyent −14-ni, çarpımları 10 ise 2 çarpanınen sabit 20-ni bere. Aqiqiy kökler yoq olsa, aqiqiy birinci dereceli çarpanlarğa ayıruv da yoq. Münasip çiftni tanımaq zor olğanda bu usul gruppalavnı toldura.

Tarmaq · Usulnıñ sıñırı«Çarpanlarğa ayırılmay» degen sözniñ tam manası.

Aqiqiy birinci dereceli çarpanlar er vaqıt olmaz

Er aqiqiy $x$ içün $x^2+1\ge1$ . Demek, bu çoqazalını sıfır yapqan aqiqiy sayı yoq. Aqiqiy koeffitsiyentli eki birinci dereceli çarpannıñ çarpımında ise mutlaqa bir sıfır olur edi; böyle ayıruv mümkün degil. Elbette, $1\cdot(x^2+1)$ yazmaq mümkün; burada daa kiçik dereceli, trivial olmağan çarpanlarnı qıdıramız. Netice izin berilgen koeffitsiyentlerge bağlı.

Şekilni maqsatqa köre saylaymız. Toplam toplamağa qolay, çarpım sıfırlarnı ve soñra kesirlerni qısqartuvnı aça. Ortaq çarpannı qıdır, formul ya da faydalı gruppalavnı tanı, kerek olsa tekrarla ve qavuslarnı açıp teşker.