Oda tikköşelik: bir tarafı 4,2 m, digeri 5,6 m. Qarşı köşeler arasındaki eñ qısqa yol eki divar boyu degil, diagonal boyu keçe. Onıñ uzunlığını qıyadan ölçemeden esaplamaq mümkün.
Dik üçköşelikte gipotenuzanıñ kvadratı katetlerniñ kvadratları cemisine teñ: a²+b²=c². Tersine, üçköşelik tarafları içün bu eşlik c qarşısındaki köşeniñ dik olğanını garantiya ete. Mında a,b — dik köşeni yapqan taraflar, c ise onıñ qarşısındaki eñ uzun taraftır. Beñzer üçköşelikler ve kvadrat kökler ile ameller kerek olacaq.
Uzunlıq kvadratlarınıñ geometrik manası bar
Tarafı a olğan kvadratnıñ meydanı a². Tarafı a+b olğan büyük kvadrat ve katetleri a,b olğan dört aynı dik üçköşelik tasavvur eteyik. Er üçköşelikniñ meydanı ab/2 — uyğun tikköşelikniñ yarısı.
Birinci sızmada dört üçköşelik içeride tarafı c olğan kvadrat qaldıra. Onıñ köşeleri dik: ilk üçköşelikniñ eki keskin köşesi cemide 90° bere. Ekinci sızmada aynı dört üçköşelik başqa türlü yerleştirilip, tarafları a ve b olğan eki kvadrat qala. Büyük kvadrat ve alınğan meydan aynı, demek qalğanlar da eş:
(c)^(2) = (a + b)^(2) − 4(ab)/(2) = (a)^(2) + (b)^(2).
Dört üçköşelik, qalğan c²
Aynı üçköşelikler, qalğan a² + b²
Proektsiyalar ve geometrik orta
Sızmada a=3,b=4, amma delil er angi musbet a,b içün işley: tek dört eş dik üçköşelik kerek. AMSI: kesip yerleştirüv isbatı, Evklid I.47.
Kvadratnı degil, uzunlıqnı tapmaq
Oda diagonali gipotenuzadır:
d = √((4,2)^(2) + (5,6)^(2)) = √(49) = 7 m.
Musbet kökni alamız, çünki uzunlıq musbettir. 49 kvadrat qıymetiniñ birimi m², kökten soñ tekrar metrler çıqa. Gipotenuza c ve katet b belgili olsa, diger katet a=√(c²−b²); degeneratsiyasız üçköşelik içün c>b>0 kerek.
√(a²+b²)-ni a+b ile deñiştirmek olmaz. Misalde divarlar boyu yol 9,8 m, diagonal ise 7 m. Üçköşelik sızmada az qala dik körüngeni içün de eşlikni qullanmaq olmaz: tarafı 2 olğan eş taraflı üçköşelikte yañlış 4=4+4 çıqar edi.
Dik köşeni teşkerüv: ters teorema
Bar üçköşelikniñ tarafları a²+b²=c² şartını yerine ketirse, c qarşısındaki köşe diktir. Katetleri a,b olğan ayrı dik üçköşelik qurayıq. İsbatlanğan teorema boyu onıñ gipotenuzası c. O, berilgen üçköşelikke SSS boyu eş, demek uyğun köşe de 90°. Bu — ters teoremanıñ ayrı isbatıdır. Evklid I.48.
Aqiqiy köşede üç ölçengen uzunlıqnı bu eşlik ile qıyaslamaq mümkün, amma neticeniñ doğrulığı ölçev hataları ile sıñırlana. İdeal kriteriy öz-özünden inşaat içün ruhset etilgen sapuvnı belgilemey.
Yükseklik daa eki beñzer üçköşelik yapa
∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a olsun. Gipotenuzağa CH=h endireyik; AH=p, HB=q, demek p+q=c. p ve q — uyğun katetlerniñ AB-ge ortogonal proektsiyaları, katetlerniñ özü degil.
AA boyu ABC, ACH ve CBH üçköşelikleri beñzer. Uyğun nisbetlerden alamız:
(c)/(b) = (b)/(p), (c)/(a) = (a)/(q), (p)/(h) = (h)/(q).
Demek:
(b)^(2) = cp, (a)^(2) = cq, (h)^(2) = pq.
İlk eki eşlikni qoşıp, tekrar a²+b²=c(p+q)=c² alamız — beñzerlik vastası ile diger isbat. Evklid VI.8.
Sızmada a=3,b=4,c=5. Şunıñ içün p=16/5=3,2, q=9/5=1,8, h=√(3,2·1,8)=2,4. Katet 4-ke proektsiya 3,2 uyğun, 1,8 degil: belgiler sırası müim.
Geometrik ortanı qurmaq mümkün
h²=pq-den h=√(pq), musbet p ve q-nıñ geometrik ortası çıqa. Onı qurmaq içün A,H,B-ni bir doğruda AH=p ve HB=q etip yerleştiremiz, AB diametrli yarım çember sızamız ve H-ten perpendikulâr keçirip, onı yarım çember ile C-de kesiştiremiz. Diametr hususiyeti boyu ACB köşesi dik, demek CH kerekli uzunlıqqa saip.
p=q olsa, o p-ge teñ. p,q ayrı olsa, √(pq)-ni arifmetik orta (p+q)/2 ile qarıştırmañız. Misalimizde olar uyğun olaraq 2,4 ve 2,5.