Şartlı araba modeli s(t)=t²: t saniye sayısı, s metr sayısı, 0≤t≤3. 2-den 3 saniyege koordinata 4-ten 9 metrge deñişe: orta sürat 5 m/s. Tam 2 saniyede sürat ne? Aralıqnı kiçiltip, orta süratlerniñ limitini alamız: türev. Doğrunıñ meyli ve limit kerek.
Sıfırğa bölmeymiz
Vaqıt artımını h dep belgileyik. h=0,1-de orta sürat 4,1 m/s; h=0,01-de 4,01 m/s. Soldan h=−0,1-de 3,9 m/s. Eki taraf 4-ke yaqınlaşa:
(s(2 + h) − s(2))/(h) = ((2 + h)^(2) − 4)/(h) = 4 + h (h ≠ 0).
Qısqartmaq içün h≠0 kerek. Sıfır payda degil, yaqınlaşma yönüdür. Umumiy tarif:
f′(a) = (lim)_(h→0)(f(a + h) − f(a))/(h).
f′(a) — f-niñ a noqtasındaki türevi. Bu soñlu eki taraflı limit bar olsa, funktsiya anda türevlenir. Bu qıymetler f′ funktsiyasını teşkil ete. Modelde s′(2)=4 m/s; türev birimleri netice birimleriniñ argument birimlerine bölünmesidir. OpenStax
Kesiciler tegetke yaqınlaşa
s=t²; — m=4; -- m=5; ·· m=4.5
Kesici grafikte eki noqtadan keçe; meyli orta deñişüvni köstere. Ekinci noqta birincige yaqınlaşqanda 5 ve 4,5 meylleri 4-ke yaqınlaşa. Limit meylli doğru — teget. O yerli yönni bere, amma bütün grafiknen tek bir noqtağa malik olmaq şart degil.
Teget teñlemesi
(a,f(a)) noqtası ve f′(a) meyli kerek:
y = f(a) + f′(a)(x − a); s_(tan)(t) = 4 + 4(t − 2) = 4t − 4.
t=2-de tegetniñ qıymeti de 4, meyli de 4. Uzaqta o parabolanı deñiştiremez. Anlıq sürat şartlı formula çerçivesinde tam netice; ölçengen malümatta qısqa aralıq bile ölçev hatasını saqlay.
Tarif ne vaqıt keçmey
f(x)=|x| içün sıfırda artımlar nisbeti soldan −1, sağdan 1. Üzülmezlik bar, amma bir dane türev yoq. Türevlenüv üzülmezlikni talap ete; ters iddia yanlış. Bağ ve istisnalar.
2 saniyede 4 m/s gittikçe qısqarğan aralıqlardan alındı. Türevni qullanmadan evvel model saası, birimler ve ortaq soñlu limitni teşkeriñiz.