Kesikte beş eş parça belgilemek kerek, amma eş adımlarnı başqa yönde ayırmaq oñaylı. Parallel doğrular bu belgilevni nisbetlerni deñiştirmeden köçürmege imkân bere.

Parallel doğrular eki kesiciden uyğun nisbetli kesikler ayıra. Üçköşelikniñ orta sızığı üçünci tarafnıñ yarısı, trapetsiyanıñ orta sızığı ise esaslarınıñ yarım cemisidir. Parallellik, dörtköşelikler ve adiy sayısal nisbetler kerek olacaq.

Bir ad, başqa-başqa ifadeler

Ukrain mektep anlatımında Fales teoreması dep sıqça eş kesikler aqqındaki faktqa aytıla: parallel doğrular bir kesiciden eş ardışıq kesikler ayırsa, digerinden de eş kesikler ayıra. İngilizce Thales’ theorem sıqça başqa fakt — diametrge tayanğan içki sızılğan köşeniñ dik olğanı demektir. Onı G008-de baqtıq. AMSI.

Şunıñ içün addan ziyade tam şart müim: angi doğrular parallel ve angi kesikler bir-birine uyğun?

Eş parçalardan nisbetlerge

Başlanğıcı O, aralarındaki köşe 0° ile 180° arasında olğan eki şavle alayıq. Eki ayrı parallel doğru birincini O,A,B, ekincini O,A′,B′ sırası ile kese. O vaqıt:

(OA)/(AB) = (OA′)/(A′B′), (OA)/(OB) = (OA′)/(OB′).

Meselâ, aynı birimlerde OA=3, AB=2 ve OA′=4,5. 3/2=4,5/A′B′-den A′B′=3 çıqa. Tam kesikler OB=5 ve OB′=7,5 de uyğun 5/7,5=3/4,5 nisbetine saip. Diger şavlede büyüv er yerde aynıdır. Parçanı bütün ile qarıştırmaq ya da tek bir kesirde sıranı ters çevirmek olmaz.

Uyğun parçalar: 3 : 2 = 4,5 : 3

OABA′B′324,53

Üçköşelik: MN = AC / 2

ABCMN510

Trapetsiya: 3 + 6 = 9

ABCDMNK36126

Beş eş adım → beş parça

ABX₅X₁
Er panel içinde miqyas teñ, şartlı birimler. Birinci: O,A,B ve O,A′,B′ uyğun sırada, AA′∥BB′; sayılar şavle boyundaki uzunlıqlardır. Ekinci: M,N — AB,BC ortaları. Üçünci: M,N — AD,BC ortaları; K — AC diagonaliniñ ortası, MK=3, KN=6. Dörtünci: yardımcı şavlede beş eş adım ve AB-de beş eş parça; qıya birleştirici kesikler X₅B-ge parallel.

Bu — nisbetli kesikler teoreması, eş adımlar onıñ hususiy alıdır. O, üç ya da daa çoq ayrı parallel doğru ve eki kesici içün de doğrudır: qoñşu kesişmeler arasındaki uyğun nisbetler eştir. Misaldeki sayılar tek qullanuvnı teşkere. Umumiy teorema er kesikke tam sayıda yerleşken ortaq birimni talap etmey; Evklid VI.2 nisbetli bölünişni meydan nisbetleri ile isbatlay.

Üçköşelikniñ orta sızığı: tarafnıñ yarısı

ABC üçköşeliginde M — AB-niñ, N ise BC-niñ orta noqtası olsun. MN kesigi orta sızıq dep atala. O vaqıt MN∥AC ve MN=AC/2. AC=10 olsa, orta sızıq 5-ke teñ.

Bunı tanış vastalar ile isbatlamaq mümkün. MN-ni N-den öte E-ge qadar uzatalım, NE=MN olsun. MBN ve ECN üçköşelikleri eki taraf ve aralarındaki vertikal köşe boyu eştir: BN=NC, MN=NE. Demek MB=EC ve MB∥EC. AM=MB olğanı içün AMEC dörtköşeligi parallelogramdır: AM ve EC eş ve parallel. Öyle etip ME∥AC, ME=AC, MN ise ME-niñ yarısı.

Ters fakt da faydalı: bir tarafnıñ ortasından diger tarafqa parallel keçirilgen doğru üçünci tarafnıñ ortasından keçe. Üçköşelikte seçilgen eki tarafqa köre üç orta sızıq bar. AMSI: orta sızıqlar.

Trapetsiyada eki esasnıñ ortasını alamız

AB∥CD, M ve N ise AD ve BC yan taraflarınıñ orta noqtaları olsun. O vaqıt:

MN∥AB, MN = (AB + CD)/(2).

Esaslar 12 ve 6 olsa, MN=9. Neden 6 degil? AC diagonalini keçirip, orta noqtasını K dep belgileyik. ADC üçköşeliginde MK orta sızığı CD/2=3; ABC üçköşeliginde KN orta sızığı AB/2=6. Ekisi de esaslarğa parallel ve bir doğruda yata, şunıñ içün MN=3+6=9. Esaslarnıñ öz ortalarını birleştirgen kesik başqadır; bu formula oña ait degil.

Sızğıçta bölmeden beş eş parça

Berilgen AB içün:

  1. A-dan AB doğrusında yatmağan istengen yardımcı şavle keçiremiz.
  2. Pergel ile onda X₁,…,X₅-ge qadar beş eş sıfırdan büyük adım ayıramız. Adım uzunlığı istengen, amma pergelniñ açıklığı deñişmey.
  3. X₅-ni B ile birleştiremiz.
  4. X₁,…,X₄-ten X₅B-ge parallel doğrular keçiremiz. Olarnıñ AB ile kesişmeleri AB-ni beş eş parçağa böle.

Esas — eki kesicideki eş kesikler teoreması. AB=17 sm olsa, er parça 17/5=3,4 sm, amma qurulma içün evelden 3,4 sm ölçemek kerek degil. Parallellerni G010-dağı kibi köşe köçürip qurmaq mümkün. İdeal modelde bölüniş tam, aqiqiy sızmada ise alet hataları toplana.