Tarafı 1 m olğan kvadrat panelge diagonal boyunca bir tayaq kerek. Geometrik model uzunlıqnı √2 m dep bere, kalkulyator ise 1,41421356… m köstere. «1,414 m-ge teñ» dep yazmaq mümkünmi? Yoq: qısqartılğan deger artıq başqa uzunlıqnı bildire. Bu farqnı añlamaq içün sayı kümeleri ve aniqlıq aqqında bir añlaşma kerek.
Saymaqtan birlikniñ qısımlarına
Panellerni saymaq içün natural sayılar yeterli: 1, 2, 3, … . Bu kursta olarnı ℕ ile belgileymiz ve 1-den başlaymız; başqa menbalarda ℕ-ge bazan 0 da qoşula. Bu, belgilev aqqında añlaşmadır.
Boş anbar ya da tam birliklerde borc yazmaq içün 0 ve menfiy sayılarnı qoşamız. Tam sayılar kümesi ℤ böyle peyda ola: …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Amma yarım metrni tam sayınen ifade etip olamaymız.
Ratsional sayı p/q kesri şeklinde yazıla bile; mında p ve q tam sayılar, q ≠ 0. Meselâ, 0,5 = 1/2, − 2 = − 2/1, 0 = 0/1. Demek, tam sayılar da ratsionaldır. Sıfırğa bölmek bu kümede yañı bir sayı yaratmay: bu amel tarif etilmegen.
Ratsional sayınıñ onluq yazılışı soñlu ya da bir yerden soñ devirli ola: 1/8 = 0,125, amma 1/3 = 0,333…. Yazılışnıñ soñsuz olması sayını öz-özünden irratsional yapmay. OpenStax, §1.1-de tarifler ve sınıflandırma.
Kesirnen ifade etilmegen uzunlıq
√2 belgisi kvadratı 2-ge teñ olğan menfiy olmağan sayını bildire. Tarafı 1 m olğan kvadratta diagonalnıñ metrlerdeki sayısal degeri budır: eki tarafnıñ kvadratları toplamı diagonalnıñ kvadratına teñdir. Mında ideal kvadratnı alamız; aqiqiy kesüv hatası ayrı bir meseledir.
√2 eki tam sayınıñ nisbeti şeklinde yazılamaz. Böyle aqiqiy sayılarğa irratsional derler; olarnıñ onluq yazılışı soñsuz ve devirsizdir. π ve −√2 de irratsionaldır. Amma √9 = 3 ratsionaldır: kök belgisi tek başına qarar bermey.
Ratsional ve irratsional sayılar beraber aqiqiy sayılar kümesi ℝ-ni teşkil ete. Er bir aqiqiy sayı sayı doğrusında bir noqtağa uyğun kele. Daha sağda olğan sayı daha büyüktir: −2 < −0,5 < 0 < 1 < √2 < 2. Sıfır ne müsbet, ne de menfiydir.
Küme sayılarnı birleştire
Mında küme — obyektler toplulığı, element ise bu obyektlerden biridir. 2\in\mathbb N yazılışını «2, ℕ kümesine aittir» dep oquymız. Bir kümeniñ er bir elementi başqa kümege ait olsa, birincisi ekincisiniñ alt kümesidir. Bunıñ içün \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R: 2-ge ratsional degenimizde o, ℕ-ge ait olmaqtan toqtamay.
Birleşme eki kümeniñ bütün elementlerini toplay; kesişme yalnız ortaq elementlerni qaldıra. A = {1,2} ve B = {2,3} içün birleşmede 1, 2, 3 bar, kesişmede ise yalnız 2 bar. Figürli qavuslar elementlerniñ cedvelini belgiley. Elementsiz küme — boş küme, ∅. Bu til soñra meseleniñ bütün çezimlerini, çezim yoqluğını da tasvirlemege yardım ete.
Yuvarlaqlavda ne coyula
Bir-birine yaqın eki uzunlıqnı kvadratqa köterip teşkereyik:
(1,414)^(2) = 1,999396 < 2 < 2,002225 = (1,415)^(2).
Eki sayı da müsbet, demek 1,414 < √(2) < 1,415. √2 ≈ 1,414 taqribiy degerni bildire; √2 = 1,414 yazılışı ise yañlış olur edi. Tam deger ile bu taqrib arasındaki farq taqriben 0,000214 m, yani 0,214 mm-dir.
Eñ yaqın biñde birge yuvarlaqlasaq, saylanğan sayıdan uzaqlıq adımnıñ yarısından aşmay: 0,0005 m, ya da 0,5 mm. Bu, tam sayısal degerniñ yuvarlaqlav hatası içün sıñırdır; ruletkanıñ ya da azır panelniñ aniqlığına kefalet bermey. Eñ yaqın ifade etilebilgen sayını saylav ve onıñ raqamlarnı kesip taşlavdan farqı NIST DLMF, §3.1(i), Rounding bölüginde añlatıla.
Dal · İsbatBu isbatnı keçip, oquvnı devam ettirmek mümkün.
√2 niçün kesir olamaz
√(2) = p/q olsun; kesir artıq qısqartılamay, p,q ise müsbet tam sayılar. O vaqıt (p)^(2) = 2(q)^(2), yani (p)^(2) çift. Tek sayınıñ kvadratı tek olğanı içün p de çift: p = 2k. Yerine qoysaq, 4(k)^(2) = 2(q)^(2), yani (q)^(2) = 2(k)^(2) çıqa. Demek, q da çift. Eki sayı da 2-ge bölüne — bu, kesirniñ qısqartılmayacağına zıt kele. Demek, böyle kesir yoq.
Tayaqnı sipariş etkende uyğun bir taqribiy deger saylamaq, matematik esapta ise √2-ni soñki adımğace saqlamaq mümkün. −4, 0, 7/8, √9, √2 sayılarına baq: ilk dört sayı ratsional, soñkisi irratsional; beşisi de aynı aqiqiy sayı doğrusındadır.