Un panel cuadrado de 1 m de lado necesita un refuerzo diagonal. El modelo geométrico da una longitud de √2 m, mientras la calculadora muestra 1,41421356… m. ¿Podemos escribir simplemente «igual a 1,414 m»? No: ese valor más corto ya representa otra longitud. Para entender la diferencia necesitamos conjuntos numéricos y una convención sobre la precisión.
De contar a dividir la unidad
Para contar paneles bastan los números naturales: 1, 2, 3, … . En este curso los representamos con ℕ y empezamos en 1; algunas fuentes también incluyen el 0 en ℕ. Es una convención de notación.
Para registrar existencias nulas o una deuda en unidades completas añadimos el 0 y los números negativos. Así obtenemos los enteros, ℤ: …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Pero los enteros no bastan para expresar medio metro.
Un número es racional si puede escribirse como p/q, donde p y q son enteros y q ≠ 0. Por ejemplo, 0,5 = 1/2, − 2 = − 2/1 y 0 = 0/1. Por tanto, los enteros también son racionales. Dividir entre cero no crea un nuevo número del conjunto: esa operación no está definida.
La expresión decimal de un racional es finita o acaba siendo periódica: 1/8 = 0,125, mientras que 1/3 = 0,333…. Tener infinitos decimales no basta para ser irracional. Definiciones y clasificación en OpenStax, §1.1.
Una longitud que ninguna fracción expresa
El símbolo √2 designa el número no negativo cuyo cuadrado es 2. En un cuadrado de 1 m de lado, ese es el valor numérico de la diagonal en metros: la suma de los cuadrados de los dos lados es igual al cuadrado de la diagonal. Suponemos un cuadrado ideal; el error de corte real se trata por separado.
√2 no puede expresarse como cociente de dos enteros. Esos números reales se llaman irracionales; su expresión decimal es infinita y nunca se vuelve periódica. También son irracionales π y −√2. En cambio, √9 = 3 es racional: el signo de raíz por sí solo no decide nada.
Racionales e irracionales forman juntos los números reales, ℝ. A cada real le corresponde un punto de la recta numérica. Más a la derecha significa mayor: −2 < −0,5 < 0 < 1 < √2 < 2. El cero no es positivo ni negativo.
Un conjunto reúne números
Un conjunto es aquí una colección de objetos; un elemento es uno de esos objetos. Leemos 2\in\mathbb N como «2 pertenece a ℕ». Si todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro, el primero es un subconjunto del segundo. Por eso \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R: llamar racional al 2 no le quita su pertenencia a ℕ.
La unión reúne los elementos de ambos conjuntos; la intersección conserva solo los comunes. Para A = {1,2} y B = {2,3}, la unión contiene 1, 2, 3 y la intersección solo 2. Las llaves encierran los elementos enumerados. El conjunto sin elementos es el conjunto vacío, ∅. Este lenguaje servirá para describir todas las soluciones de un problema, incluida su ausencia.
Qué perdemos al redondear
Comprobemos dos longitudes cercanas elevándolas al cuadrado:
(1,414)^(2) = 1,999396 < 2 < 2,002225 = (1,415)^(2).
Ambos números son positivos, por lo que 1,414 < √(2) < 1,415. √2 ≈ 1,414 expresa una aproximación; √2 = 1,414 sería falso. La diferencia entre el valor exacto y esa aproximación es de unos 0,000214 m, es decir, 0,214 mm.
Al redondear a la milésima más cercana, la distancia al número elegido no supera medio paso: 0,0005 m, o 0,5 mm. Esa es una cota del error de redondeo del número exacto; no garantiza la precisión de una cinta métrica ni del panel acabado. La elección del número representable más cercano y su diferencia con truncar cifras se explican en NIST DLMF, §3.1(i), Rounding.
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Por qué √2 no puede ser una fracción
Supongamos que √(2) = p/q, con la fracción ya irreducible y p,q enteros positivos. Entonces (p)^(2) = 2(q)^(2), de modo que (p)^(2) es par. El cuadrado de un impar es impar, así que p también es par: p = 2k. Sustituyendo obtenemos 4(k)^(2) = 2(q)^(2), es decir, (q)^(2) = 2(k)^(2). Por tanto, q también es par. Ambos son divisibles entre 2, lo que contradice que la fracción sea irreducible. No existe tal fracción.
Para encargar el refuerzo podemos elegir una aproximación adecuada y conservar √2 hasta el último paso del cálculo matemático. Observa −4, 0, 7/8, √9, √2: los cuatro primeros son racionales; el último es irracional. Los cinco están en la misma recta real.