Un juego didáctico elige uniformemente una tarjeta A, B, C o D que da 0, 1, 1 o 4 puntos, respectivamente. Una variable aleatoria convierte el resultado del experimento en un número; la esperanza pondera esos números por sus probabilidades. No promete el resultado de una partida. Usamos fracciones, probabilidad e independencia.
Del resultado a la distribución
Sea X la puntuación: X(A)=0, X(B)=X(C)=1, X(D)=4. Dos resultados dan el mismo valor 1; su probabilidad duplica la de una sola tarjeta.
| x, puntos | P(X=x) | x·P(X=x), puntos |
|---|---|---|
| 0 | 1/4 | 0 |
| 1 | 1/2 | 1/2 |
| 4 | 1/4 | 1 |
Es una variable discreta: podemos enumerar sus valores posibles. Aquí son finitos; un conjunto discreto también puede ser infinito numerable. Para una distribución finita:
p_(i) = P(X = x_(i)) ≥ 0, (∑)_(i)p_(i) = 1.
Comprobación: 1/4+1/2+1/4=1. Cambiar la última probabilidad por 1/2 daría 5/4; llamarla aproximada no valida esa tabla. Condiciones de distribución.
Una media ponderada
E[X] = (∑)_(i)x_(i)p_(i) = 0 ⋅ (1)/(4) + 1 ⋅ (1)/(2) + 4 ⋅ (1)/(4) = 1.5.
E[X] significa esperanza de X; algunos manuales usan M(X). Las probabilidades son adimensionales, así que la esperanza se mide en puntos. No es la media de los tres números distintos (0+1+4)/3: el valor 1 aparece más a menudo en el modelo. OpenStax
Distribución y esperanza
X: A→0, B→1, C→1, D→4
Obtener 1.5 puntos en una partida es imposible aquí. Si repetimos independientemente el mismo modelo muchas veces, reponiendo la tarjeta, la media se acerca a 1.5 en el sentido de la ley de los grandes números de A043. No fija el resultado exacto de diez partidas ni exige compensar con la próxima tarjeta la anterior.
Las esperanzas se suman aun con dependencia
Para variables con valores finitos y constantes a,b:
E[X + Y] = E[X] + E[Y], E[aX + b] = aE[X] + b.
La independencia no hace falta. Define Y=4−X en la misma tarjeta. Un X grande implica un Y pequeño: son dependientes. Pero X+Y siempre vale 4:
E[Y] = 4 − E[X] = 2.5, E[X + Y] = 4 = 1.5 + 2.5.
¿Por qué funciona? En cada resultado elemental sumamos X e Y, multiplicamos por su probabilidad y agrupamos por separado los términos de X y de Y. Es la distributividad, sin suponer independencia. Linealidad de la esperanza, MIT.
En diez asignaciones la suma esperada es 10·1.5=15 puntos. La linealidad da la esperanza de la suma, sin garantizar la suma realizada. Nombra variable y unidades, construye su distribución y comprueba que las probabilidades sumen uno.