Una bolsa contiene 3 bolas rojizas y 2 claras. Si la primera fue rojiza, ¿cambia la probabilidad de otra rojiza? La probabilidad condicionada recalcula posibilidades tras conocer un suceso. Reponer la bola determina si cambia la composición. Usamos el modelo de probabilidad.
A significa primera rojiza y B segunda rojiza. Cada bola es distinta y elegimos uniformemente entre las disponibles. La barra vertical significa dado:
P(B∣A) = (P(A∩B))/(P(A)) (P(A) > 0).
El denominador fija el nuevo espacio: entre los resultados A, ¿qué fracción también tiene B? Con P(A)=0 no usamos esta definición. Reordenando obtenemos multiplicación:
P(A∩B) = P(A)P(B∣A).
Con reposición
Reponemos la primera bola y mezclamos uniformemente de nuevo. La composición no cambia, P(B|A)=3/5=P(B), por tanto:
P(A∩B) = (3)/(5) ⋅ (3)/(5) = (9)/(25).
Es un modelo de extracciones independientes. Reponer sin mezclar adecuadamente no demuestra independencia del mecanismo real.
Sin reposición
Tras A quedan 2 rojizas y 2 claras. La probabilidad actualizada es 2/4:
P(B∣A) = (2)/(4) = (1)/(2), P(A∩B) = (3)/(5) ⋅ (1)/(2) = (3)/(10).
Dos extracciones sin reposición
No multipliques 3/5 por 3/5 si la información cambió el segundo factor. OpenStax
El mismo problema en tabla
Sin reposición hay 5·4=20 pares ordenados equiprobables de bolas etiquetadas distintas. La tabla cuenta resultados posibles, no 20 experimentos realizados:
| Primera / segunda | Rojiza | Clara | Total |
|---|---|---|---|
| Rojiza | 6 | 6 | 12 |
| Clara | 6 | 2 | 8 |
| Total | 12 | 8 | 20 |
Dado A queda la fila de 12 resultados; 6 también tienen B: 6/12=1/2. La probabilidad conjunta A∩B es 6/20=3/10. La probabilidad global de B sigue siendo 12/20=3/5; que no cambie la marginal no implica independencia del primer resultado. Tablas de contingencia.
Independientes no significa incompatibles
La independencia exige:
P(A∩B) = P(A)P(B).
Con P(A)>0 equivale a P(B|A)=P(B). Los sucesos incompatibles no ocurren juntos: su intersección es vacía. Primera rojiza y primera clara son incompatibles; como ambas probabilidades son positivas, no son independientes. Primera rojiza y segunda rojiza sí pueden ocurrir juntas. Definiciones y diferencia.
La regla de suma anterior también sirve para sucesos dependientes. Sin reposición, la probabilidad de al menos una rojiza es:
P(A∪B) = (3)/(5) + (3)/(5) − (3)/(10) = (9)/(10).
Multiplica a lo largo de cada camino, suma caminos incompatibles e identifica siempre el denominador de la tabla. Así se ve qué información entró en el cálculo.