En el plano de una habitación, (2;1) podría representar una marca del suelo o una lámpara sobre ella. Un tercer número elimina la ambigüedad. Describiremos punto, desplazamiento, plano y esfera en una escena sencilla sin repetir todo el curso bidimensional.
Tercera coordenada y distancia recta
Requisitos: coordenadas del plano, vectores, isometrías del plano, rectas espaciales, ángulos y distancias.
Elegimos tres ejes x,y,z perpendiculares entre sí, con origen común O y la misma unidad, el metro. Elegimos la orientación de ejes de la mano derecha. x e y están en el suelo; z positivo apunta arriba. La terna P(x;y;z) fija la posición; z puede ser negativo bajo el suelo. Los planos xy,xz,yz tienen ecuaciones z=0,y=0,x=0 respectivamente. Un eje requiere dos coordenadas nulas, no una.
Sean A(1;1;1), B(3;2;3). Las diferencias de coordenadas son 2,1,2. Primero Pitágoras en el suelo da el cuadrado del desplazamiento horizontal, 2²+1²=5; después añadimos el cuadrado del cambio de altura, 2². Así AB=√9=3 m. En general:
d = √((x_(B) − x_(A))^(2) + (y_(B) − y_(A))^(2) + (z_(B) − z_(A))^(2)).
El punto medio promedia cada coordenada: M(2;1,5;2). P=A+t(B−A), 0≤t≤1, divide el segmento en razón AP:PB=t:(1−t). Con t=1/3 obtenemos P(5/3;4/3;5/3) y razón 1:2. t es una fracción del recorrido, no una longitud en metros.
Vectores: mismas operaciones, otra componente
El vector u de A a B es u=(2;1;2). Describe el cambio de posición, no el propio punto B. Suma, resta y multiplicación por un número se hacen componente a componente: con v=(1;−2;0), u+v=(3;−1;2) y 2u=(4;2;4). La longitud de u es √(2²+1²+2²)=3.
El producto escalar también añade un tercer término:
u ⋅ v = u_(x)v_(x) + u_(y)v_(y) + u_(z)v_(z) = ∣u∣ ∣v∣cosθ.
Aquí 2·1+1·(−2)+2·0=0; u y v no nulos son perpendiculares. El vector cero no tiene ángulo definido, aunque su producto escalar con cualquier vector sea cero. Para direcciones no nulas de rectas, el ángulo menor φ cumple cos φ=|u·v|/(|u||v|); para vectores orientados se omite el valor absoluto.
Tercera coordenada y punto medio M
Normal: Q−H=n
Esfera: sección por H y Q
Recta y plano: distinguir ecuaciones
La recta por A con dirección u usa un único parámetro común t: x=1+2t, y=1+t, z=1+2t, t∈ℝ. Con t=0 está A y con t=1, B. Al restringir t entre 0 y 1 obtenemos el segmento. Una componente de dirección nula hace constante esa coordenada: para v, z=const. No dividimos por cero en la forma simétrica de una recta.
Una ecuación lineal ax+by+cz=d, con n=(a;b;c)≠0, define un plano, no una recta espacial. n es su normal. ¿Por qué? Restar las ecuaciones de dos puntos X,X₀ del plano da n·(X−X₀)=0: todo desplazamiento dentro del plano es perpendicular a n. Dos restricciones lineales independientes pueden definir una recta como intersección de planos.
Sea α: x+2y+2z=9, n=(1;2;2). H(1;2;2) pertenece a α. Tomemos Q(2;4;4)=H+n. La longitud QH=|n|=3 m; QH es perpendicular al plano, luego es la distancia mínima de Q a α. Sustituir Q da 18 en vez de 9: está fuera del plano.
La distancia general de Q(x₀;y₀;z₀) a ax+by+cz=d es |ax₀+by₀+cz₀−d|/√(a²+b²+c²). En efecto, para X₀ en el plano y pie perpendicular H, n·(Q−X₀)=n·(Q−H), pues n·(H−X₀)=0. Dividir por |n| proyecta sobre una normal unitaria. El valor absoluto elimina la elección de lado y el denominador normaliza la normal. Nuestro ejemplo da |18−9|/3=3 m. Las normales proporcionales indican planos paralelos o coincidentes; para distinguirlos estrictamente comprobamos también los segundos miembros.
Esfera: distancia constante
Todos los puntos a distancia r>0 de C(a;b;c) forman una esfera. La fórmula de distancia da inmediatamente:
(x − a)^(2) + (y − b)^(2) + (z − c)^(2) = (r)^(2).
Por ejemplo, (x−1)²+(y−2)²+(z−2)²=9 es una esfera de centro H y radio 3 m; Q pertenece a ella. Sustituir = por ≤ define la bola cerrada, incluida su frontera. En z=2 la esfera da la circunferencia (x−1)²+(y−2)²=9; en el espacio hay que añadir z=2 para definir esa circunferencia. La lección sobre la esfera distinguirá con más detalle superficie, sólido y circunferencia plana.
Ejemplos adicionales con coordenadasLas definiciones anteriores de punto, recta, plano y esfera ya están completas.
Rama · Transformaciones espaciales
Una traslación por (p;q;r) da (x+p;y+q;z+r). La reflexión en xy da (x;y;−z); la simetría central respecto a O, (−x;−y;−z). La simetría respecto al eje z es el medio giro (−x;−y;z), no una reflexión en un plano. El giro de 90° alrededor de z positivo según la regla de la mano derecha da (−y;x;z). Todos conservan distancias: sustituya las diferencias de coordenadas en la suma de tres cuadrados. Movemos los puntos dentro del sistema, no los ejes.
Una homotecia de centro O y k≠0 da (kx;ky;kz): multiplica longitudes por |k|, áreas por k² y volúmenes por |k|³. Con k=±1 es una isometría; otros k cambian la escala. Es la extensión espacial de G023, no una proyección que pierde una coordenada.
Fuentes y límites
Definiciones y transformaciones escolares: Ister, geometría del curso 10, §§13–19. Además, AMSI, Three-dimensional coordinate geometry trata coordenadas, punto medio, rectas y planos; Purdue, Lines and Planes, direcciones, normales y restricciones de la forma simétrica. Los puntos y cálculos propios se comprobaron aparte. Las fórmulas métricas requieren un sistema rectangular con unidades iguales; una cuadrícula arbitraria de un editor 3D no garantiza esas condiciones.