En el plano de una pared, A y B marcan los extremos de un tramo de tres metros, y C señala un enchufe a 1,2 m de A. En otra parte, una dirección sale de una línea formando 60°. Leer el plano exige distinguir el objeto, su notación y su medida.
Un segmento tiene dos extremos y una longitud; una semirrecta tiene origen y dirección; una recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Dos semirrectas con origen común determinan un ángulo. Medimos longitudes, por ejemplo, en metros y ángulos en grados. Basta haber leído modelos y demostraciones.
Dónde termina la línea
El punto A marca una posición sin tamaño propio. La recta AB pasa por dos puntos distintos A y B, pero no termina en ellos. La semirrecta AB empieza en A, pasa por B y continúa. La semirrecta BA tiene otro origen y sentido opuesto. En cambio, los segmentos AB y BA son la misma figura.
En «AB=3 m», AB representa la longitud del segmento, no su conjunto de puntos. Los libros pueden añadir barras o flechas para distinguir rectas, semirrectas y segmentos; las palabras que acompañan la notación evitan ambigüedades. Las flechas del esquema indican prolongación, no movimiento físico.
Recta, semirrecta, segmento
Bisectriz de un ángulo de 60°
Dos rectas: ángulos de 60° y 120°
Como C está entre A y B, AB=AC+CB. Desde el enchufe hasta B quedan:
CB = AB − AC = 3 − 1,2 = 1,8 m.
Restamos números expresados en la misma unidad: metros. Si C estuviera en la prolongación más allá de B, ya no serviría esa misma disposición de la suma. El punto medio es un punto interior que divide el segmento en dos partes iguales; nuestro C no es el punto medio porque 1,2≠1,8.
Cómo leer un ángulo
En ∠AOB, la letra central O es el vértice; OA y OB son sus lados, que son semirrectas. La longitud de los trazos dibujados OA y OB no determina el ángulo. Alargar un trazo sin cambiar su dirección no modifica el ángulo.
Una vuelta completa son 360°; un ángulo llano entre semirrectas opuestas, 180°; un ángulo recto, 90°. Un ángulo agudo es mayor que 0° y menor que 90°; uno obtuso es mayor que 90° y menor que 180°. Aquí usamos ángulos ordinarios no orientados de hasta 180°; el arco indica la región considerada. El sentido de giro y los ángulos mayores se estudian en trigonometría.
La bisectriz es una semirrecta que parte del vértice por el interior del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. En el esquema, OC divide 60° en 30° y 30°. No significa partir por la mitad cualquier lado o distancia. Todavía no hace falta conocer la construcción con compás: aquí importa el significado. Euclides I.9.
Dos rectas aportan más información
Un par lineal consta de dos ángulos con un lado común y los otros lados formados por semirrectas opuestas. Juntos forman un ángulo llano y suman 180°. Compartir un lado no basta: dos ángulos contiguos de 30° no forman un par lineal. Euclides I.13.
Los ángulos opuestos por el vértice quedan enfrentados al cortarse dos rectas; los lados de uno son semirrectas opuestas a los del otro. Son iguales. Cada uno suma 180° con el mismo tercer ángulo; al restar ese tercer ángulo obtenemos la igualdad. Euclides I.15.
Si uno de los cuatro ángulos de una intersección mide 60°, el de su par lineal mide 180°−60°=120°, el opuesto 60° y el último 120°. Comprobamos alrededor del punto:
60° + 120° + 60° + 120° = 360°.
Los ángulos iguales no tienen por qué ser opuestos por el vértice: pueden estar en lugares distintos del plano. La expresión inglesa «vertical angles» tampoco significa que apunten hacia arriba: podemos girar todo el dibujo y la propiedad permanece. Al leer un plano, identifiquemos primero las semirrectas y los puntos dados, y después apliquemos las reglas de longitudes y ángulos.