Potencias y notación científica de números grandes y pequeños

Un archivo ocupa 2 500 000 bytes y otro, 2 500 000 000. ¿Cuántas veces es mayor el segundo? Las expresiones $2{,}5\cdot10^6$ y $2{,}5\cdot10^9$ muestran el mismo coeficiente y tres factores de diez adicionales. La razón es $10^{9-6}=10^3=1000$ . Veamos por qué podemos operar así con los exponentes.

Después de la lección sobre letras en las fórmulas, los símbolos $a$ y $n$ ya son familiares. Aquí $a$ será la base de una potencia y $n$ , su exponente entero.

El exponente cuenta factores iguales

$2^4$ significa $2\cdot2\cdot2\cdot2=16$ , no $2\cdot4$ . Para un natural $n>1$ , la potencia $a^n$ es el producto de $n$ factores iguales a $a$ ; $a^1=a$ .

Si la base está entre paréntesis, el signo también le pertenece: $(-2)^2=4$ . En $-2^2$ calculamos primero la potencia y después cambiamos el signo, por lo que obtenemos −4. Los paréntesis cambian el significado, como en otras expresiones.

Al multiplicar potencias de igual base juntamos los factores: $a^3\cdot a^2=a^5$ . Al dividir, cancelamos factores iguales no nulos: $a^5/a^2=a^3$ si $a\ne0$ .

Para qué sirven exponentes cero y negativos

La sucesión $10^3,10^2,10^1$ representa 1000, 100, 10. Cada paso que reduce el exponente en 1 divide el número entre 10. Al continuar obtenemos $10^0=1$ , $10^{-1}=0{,}1$ , $10^{-2}=0{,}01$ .

Para una base no nula ampliamos las reglas de forma coherente:

a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}\quad(n=1,2,3,\ldots).

El exponente cero corresponde a $a^n/a^n=1$ ; el negativo da el inverso. No significa que el resultado sea negativo: $2^{-3}=1/8$ , mientras que $(-2)^{-3}=-1/8$ . Con base cero, $0^n=0$ para enteros positivos $n$ , pero aquí no definimos $0^0$ ni potencias negativas de cero. Reglas y condiciones en OpenStax, §1.2.

Propiedades con condiciones

Para reales no nulos $a,b$ y enteros $m,n$ :

Operación	Propiedad
Producto de igual base	$a^m a^n=a^{m+n}$
Cociente de igual base	$a^m/a^n=a^{m-n}$
Potencia de una potencia	$(a^m)^n=a^{mn}$
Potencia de un producto	$(ab)^n=a^n b^n$
Potencia de un cociente	$(a/b)^n=a^n/b^n$

Con exponentes positivos, algunas propiedades también admiten el cero; la condición común de bases no nulas permite abarcar todos los exponentes enteros sin problemas. Sumar exponentes no es una regla para sumas: $2^3+2^3=16$ , pero $2^{3+3}=64$ .

Longitud en metros (m)

Es una escala de factores, no una regla: cada paso igual hacia la derecha multiplica la longitud por 10. De 0,001 m a 1 m hay tres pasos, un factor de 1000.

La notación científica separa la escala

Un número no nulo se escribe en notación científica normalizada como $c\cdot10^k$ , con $k$ entero y $1\le|c|<10$ . Aquí $|c|$ es la distancia de $c$ al cero. Para números positivos, el coeficiente es mayor o igual a 1 y menor que 10. Por ejemplo, $2500000=2{,}5\cdot10^6$ y $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$ . La expresión $25\cdot10^5$ tiene el mismo valor, pero todavía no está normalizada. El cero se escribe simplemente como 0.

En este curso llamamos a $k$ orden en la notación decimal normalizada. Sirve para estimar la escala, pero los coeficientes también importan para la razón exacta. Por ejemplo, $9\cdot10^6$ y $1\cdot10^7$ tienen órdenes consecutivos y, sin embargo, solo difieren en un factor $10/9\approx1{,}11$ .

En los dos archivos iniciales se cancelan los coeficientes iguales. En unidades decimales son 2,5 MB y 2,5 GB: NIST define expresamente 1 MB = 10⁶ B y 1 GB = 10⁹ B, donde B significa byte. Primero igualamos las unidades; después comparamos exponentes.

Rama · UnidadesEste detalle técnico es opcional para entender las potencias decimales.

GB y GiB son cantidades distintas de bytes

Según la tabla de NIST, 1 GiB = 2³⁰ B = 1 073 741 824 B, mientras que 1 GB = 1 000 000 000 B. Son unidades distintas, no redondeos distintos del mismo número. Los nombres y símbolos de los prefijos binarios se crearon para distinguirlas. En una interfaz concreta hay que comprobar qué significa la etiqueta; aquí no suponemos el comportamiento de ningún programa.

Rama · PrecisiónMás sobre cómo comunicar resultados de mediciones.

Una escritura más corta no mejora la medición

Al comunicar una medición, $2{,}50\cdot10^6$ suele indicar tres cifras significativas: 2, 5 y el 0 final. La escritura $2{,}5\cdot10^6$ comunica dos. OpenStax Chemistry, §1.5 explica su relación con la precisión del resultado comunicado.

Como números matemáticos exactos, ambas expresiones son iguales. Añadir un cero no mejora el instrumento ni demuestra que el error sea menor. Nuestros archivos tienen cantidades de bytes dadas como enteros exactos; elegir una notación más corta no implica por sí solo incertidumbre de medición.

Cuando veas un número largo, conserva su unidad y separa el coeficiente de la potencia de diez. El exponente describe la escala; el coeficiente precisa el valor; el signo de aproximación indica si has redondeado algo.