Dispones de 20 m de valla para una parcela rectangular. ¿Dan la misma área lados de 3 y 7 m que de 5 y 5 m? El perímetro coincide, pero las áreas son 21 y 25 m². Una relación cuadrática muestra cuándo aumentar una dimensión deja de favorecer el área.
Usamos ecuaciones cuadráticas y funciones. La valla cubre los cuatro lados; ignoramos su grosor y las aberturas.
Un vértice a partir de un cuadrado no negativo
Sea x la longitud numérica de un lado en metros. De 2(x + y) = 20, el otro lado es y = 10 − x. Ambos son positivos, luego 0 < x < 10. El área numérica en m² es
S(x) = x(10 − x) = 25 − (x − 5)^(2).
Un cuadrado es no negativo, así que S(x) ≤ 25, con igualdad solo en x = 5. Resulta un cuadrado de 5×5 m, y (5,25) es el vértice de la gráfica. x = 5 − d y x = 5 + d dan el mismo (d)^(2) y área: hay simetría respecto de x = 5.
La gráfica de una función cuadrática se llama parábola. El coeficiente negativo del cuadrado hace que abra hacia abajo y el vértice sea un máximo. El área cero en 0 y 10 corresponde a rectángulos degenerados: esos extremos no pertenecen al modelo. El recorrido del área es (0,25].
Cómo cambian la forma los coeficientes
Es cómodo leer f(x) = a(x − h)^(2) + k, con a ≠ 0. El vértice es (h,k) y el eje de simetría x = h. Si a > 0, el vértice es mínimo; si a < 0, máximo. Para una misma separación horizontal del vértice, el desplazamiento vertical es a por el cuadrado de esa separación.
De (x)^(2) a 2(x − 1)^(2) − 3: trasladamos 1 a la derecha, duplicamos las distancias verticales al nivel cero y después bajamos 3. El vértice queda en (1, − 3). Multiplicar toda la expresión resultante por −1 la reflejaría respecto del eje horizontal. Formas cuadráticas, OpenStax §5.1.
Traslación y estiramiento
Área con perímetro de 20 m
El vértice en la forma ax²+bx+c
Completar el cuadrado para a ≠ 0 da:
a(x)^(2) + bx + c = a((x + (b)/(2a)))^(2) + c − ((b)^(2))/(4a).
Por tanto h = − b/(2a), k = f(h) = c − (b)^(2)/(4a). Conserva el signo menos en la coordenada horizontal. Para S = − (x)^(2) + 10x, a = − 1, b = 10, c = 0, de modo que h = 5, k = 25.
Estas coordenadas describen el vértice de la parábola completa. Si solo se permitiera 1 ≤ x ≤ 3, el vértice en 5 sería inaccesible; el área máxima en ese dominio sería 21 m² para x = 3.
Los ceros responden ecuaciones; el signo, desigualdades
Los ceros son las entradas con f(x) = 0 y se hallan mediante una ecuación cuadrática. Dos raíces reales distintas dan dos cruces con el eje horizontal; una raíz doble, tangencia; un discriminante negativo, ningún cero real.
Para f(x) = 2(x − 1)^(2) − 3, f(x) ≤ 0 equivale a (x − 1)^(2) ≤ 3/2. Así:
1 − √(3/2) ≤ x ≤ 1 + √(3/2).
Es la parte de la parábola en o bajo el eje. No hay que adivinar signos por su aspecto: las raíces sitúan los límites y la apertura o la factorización confirman los intervalos.
El perímetro se convirtió en fórmula, la fórmula en cuadrado y el cuadrado dio una cota exacta del área. Leer el vértice ayuda también con otros modelos cuadráticos, comprobando primero dominio y unidades.