El lado de un cuadrado hipotético u(t)=2t+1 crece 2 cm por segundo. ¿Por qué su área A=u² crece 12 cm²/s en t=1? El cambio pasa por dos dependencias: el tiempo cambia el lado y este cambia el área. Importan ambas tasas. t cuenta segundos y u centímetros, t≥0. Requisitos: exponenciales, logaritmos, identidades y derivada.

Combinar cambios

Sean f y g derivables en el punto necesario y c constante. La suma combina tasas; en un producto cambian ambos factores:

(f ± g)′ = f′ ± g′, (cf)′ = cf′; (fg)′ = f′g + fg′.

El cociente exige denominador distinto de cero:

((f)/(g))′ = (f′g − fg′)/((g)^(2)) (g ≠ 0).

No son f′g′ ni f′/g′: incluso x·x daría incorrectamente 1 en lugar de 2x. Reglas y deducciones.

Multiplicar tasas externa e interna

Para A(u(t)), evaluamos la derivada externa en u(t) y multiplicamos por u′(t):

(dA)/(dt) = (dA)/(du)(du)/(dt) = 2u ⋅ 2 = 4(2t + 1).

En t=1, u=3, dA/du=6 cm²/cm y du/dt=2 cm/s: 12 cm²/s. La notación recuerda cancelar unidades, pero es un teorema para funciones derivables, no un permiso para cancelar símbolos arbitrarios. OpenStax

Dos tasas sucesivas

t, su=2t+1, cmA=u², cm²du/dt=2 cm/sdA/du=2u cm
En t=1: u=3 cm, dA/du=6 cm²/cm; 6·2=12 cm²/s. Diagrama de dependencias sin escala; las flechas no representan movimiento.

Tabla con condiciones

Para r real la regla de potencias siguiente es segura con x>0. Las potencias enteras positivas tienen su derivada polinómica también para x negativos y cero; derivamos una constante por separado.

C′ = 0, ((x)^(r))′ = r(x)^(r − 1) (x > 0).

Los argumentos trigonométricos son radianes. El denominador correspondiente de tan/cot debe ser distinto de cero:

(sin⁡x)′ = cos⁡x, (cos⁡x)′ = − sin⁡x.

(tan⁡x)′ = (1)/((cos⁡)^(2)x), (cot⁡x)′ = − (1)/((sin⁡)^(2)x).

Para exponenciales y logaritmos b>0, b≠1; los logaritmos exigen además x>0:

((e)^(x))′ = (e)^(x), ((b)^(x))′ = (b)^(x)ln⁡b.

(ln⁡x)′ = (1)/(x), ((log⁡)_(b)x)′ = (1)/(xln⁡b).

Fuentes: derivadas trigonométricas, exponenciales y logaritmos.

Empezar por la estructura

(xsin⁡x)′ = sin⁡x + xcos⁡x; ((x)/(x + 1))′ = (1)/((x + 1)^(2)).

La segunda fórmula conserva x≠−1 de la expresión original. Otra cadena:

(ln⁡(2t + 1))′ = (2)/(2t + 1) (t > − 1/2).

Omitir el factor 2 pierde la tasa interna. Identifica la operación principal — suma, producto, cociente o composición —, deriva sus partes y comprueba dominio y unidades. Una tabla sola no explica la tasa de cambio.