Tema final opcional del curso. Usamos reducción de grado, signos de factores y números complejos.
Un gráfico puede tocar el eje y volver o cruzarlo. A veces no lo corta aunque existan raíces complejas. Una raíz corresponde a un factor lineal; la multiplicidad cuenta sus repeticiones. Así se explica el comportamiento distinto del gráfico.
Del resto a la multiplicidad
Por el teorema del resto de A014:
P(x) = (x − r)Q(x) + P(r), P(r) = 0 ⟺ (x − r)∣P(x).
La barra vertical significa divide sin resto. Una raíz r tiene multiplicidad m, entero m≥1, si:
P(x) = ((x − r))^(m)G(x), G(r) ≠ 0.
G(r)≠0 indica que no se puede extraer otra copia del factor. Por ejemplo:
P(x) = ((x − 1))^(2)(x + 2) = (x)^(3) − 3x + 2.
Las raíces son −2 simple y 1 doble. Hay dos distintas, pero 1+2=3 contando multiplicidad, como el grado. Cerca de r real, G continua conserva su signo porque G(r)≠0. La potencia (x−r)^m cambia de signo con m impar y lo conserva con m par. El gráfico cruza con multiplicidad impar y toca sin cambiar de signo con multiplicidad par. OpenStax
Raíces simple y doble
P(x)=(x−1)²(x+2)
Sin ceros reales
Q(x)=x²+1; Q(x)≥1
El segundo gráfico x²+1 no tiene ceros reales, pero en los complejos:
(x)^(2) + 1 = (x − i)(x + i).
Las raíces i y −i no son puntos del eje real x. Dibujar con mayor precisión el gráfico real no las hará aparecer en él.
Las parejas conjugadas exigen coeficientes reales
Si todos los coeficientes son reales, la raíz a+bi viene con a−bi. Conjugar conserva sumas y productos y no cambia coeficientes reales; de P(a+bi)=0 obtenemos P(a−bi)=0. Sus multiplicidades también coinciden. No es general para coeficientes complejos: z−i solo tiene la raíz i.
Qué garantiza el teorema fundamental
Todo polinomio no constante de grado n≥1 con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas contando multiplicidad. Se factoriza:
P(z) = a_(n)((∏)_(j = 1))^(n)(z − r_(j)), a_(n) ≠ 0, n ≥ 1.
Las rⱼ pueden repetirse y ser reales. El teorema no promete n raíces distintas ni n reales y no se aplica a constantes no nulas. Garantiza existencia, no facilidad de cálculo. Enunciado preciso, NIST DLMF §1.11(ii).
Ecuación cúbica: panorama del método
Una cúbica con coeficientes reales tiene al menos una raíz real: lejos a izquierda y derecha tiene signos opuestos, y el gráfico continuo debe pasar por cero entre ellos. Hallada una raíz, dividir extrae el factor lineal y deja una cuadrática.
Una sustitución elimina el término cuadrático; p,q son los coeficientes reales resultantes:
a(x)^(3) + b(x)^(2) + cx + d = 0, a ≠ 0, x = y − (b)/(3a) ⇒ (y)^(3) + py + q = 0.
Para Δ≥0, un paso del método de Cardano es el siguiente; las raíces cúbicas son reales, con el signo del radicando:
Δ = ((q/2))^(2) + ((p/3))^(3), y = ( − q/2 + √(Δ))^(1/(3)) + ( − q/2 − √(Δ))^(1/(3)) (Δ ≥ 0).
Para p=−3,q=−2 tenemos Δ=0 y la fórmula da y=2. La división encuentra el resto:
(y)^(3) − 3y − 2 = (y − 2)((y + 1))^(2).
Así, 2 es simple y −1 doble. Con Δ<0 hay tres raíces reales distintas, pero los radicales pasan por números complejos intermedios; sus ramas cúbicas deben coordinarse. Es una vía de estudio, sin elegir dos raíces arbitrarias independientemente. Reducción y fórmulas, NIST DLMF §1.11(iii). NIST usa discriminante D=−108Δ: comprueba el signo de la notación.
Al acabar el curso, indica siempre dominio numérico, valores admisibles y cómo cuentas las raíces. Así fórmula, gráfico y respuesta describen el mismo problema.
Dos comprobaciones adicionales
Desarrolla a(x−r₁)(x−r₂)(x−r₃) y compara coeficientes: se obtienen las fórmulas de Vieta, repitiendo raíces según multiplicidad:
r_(1) + r_(2) + r_(3) = − b/a, r_(1)r_(2) + r_(1)r_(3) + r_(2)r_(3) = c/a, r_(1)r_(2)r_(3) = − d/a.
Para 2,−1,−1 la suma es 0, la suma de productos por parejas −3 y el producto 2: recuperan y³−3y−2. Comprueban coeficientes sin resolver de nuevo.
Otro método tras las reglas de derivación: para un polinomio no nulo, r real tiene multiplicidad m si P y sus derivadas de órdenes 1,…,m−1 se anulan allí, pero la de orden m no. Derivar repetidamente elimina un factor x−r cada vez. Para P=x³−3x+2 en r=1: P=0, P′=0, P″=6, luego multiplicidad 2. Este método no hace falta para la explicación por signos anterior.