Корені многочлена: кратність і комплексні розв’язки

Додаткова завершальна тема курсу. Потрібні зниження степеня, знаки множників та комплексні числа.

Графік може торкнутися осі й повернутися, а може перетнути її. Іноді жодного перетину немає, хоча корені існують у комплексних числах. Корінь відповідає лінійному множнику; його кратність рахує повторення цього множника. Саме вона пояснює різну поведінку графіка.

Від остачі до кратності

Із теореми Безу в A014:

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r),\qquad P(r)=0\iff(x-r)\mid P(x).$

Вертикальна риска тут означає «ділить без остачі». Число r має кратність m, якщо m≥1 ціле і:

$P(x)={(x-r)}^mG(x),\qquad G(r)\ne0.$

Умова G(r)≠0 означає, що наступний такий множник уже не виділяється. Наприклад:

$P(x)={(x-1)}^2(x+2)=x^3-3x+2.$

Корені: −2 простий, 1 подвійний. Різних коренів два, а з урахуванням кратності — 1+2=3, як степінь. Поблизу дійсного r неперервний G не змінює знак, бо G(r)≠0. Степінь (x−r)^m змінює знак при непарному m і зберігає при парному. Тому графік перетинає вісь у непарного кореня, торкається без зміни знака в парного. OpenStax

Простий і подвійний корені

P(x)=(x−1)²(x+2)

Дійсних нулів немає

Q(x)=x²+1; Q(x)≥1

Перший графік перетинає вісь у −2 (кратність 1) і торкається в 1 (кратність 2). Другий, x²+1, не перетинає її: комплексні корені ±i не належать дійсній осі. Безрозмірні рівномірні шкали; показано лише вікна графіків.

Другий графік x²+1 не має дійсних нулів, але в комплексних числах:

$x^2+1=(x-i)(x+i).$

Корені i і −i не є точками дійсної осі x. Намалювати реальний графік докладніше не означає побачити на ньому ці комплексні корені.

Спряжені пари потребують дійсних коефіцієнтів

Якщо всі коефіцієнти дійсні, разом із коренем a+bi існує a−bi. Спряження зберігає додавання й множення та не змінює дійсні коефіцієнти, тому зі значення P(a+bi)=0 отримуємо P(a−bi)=0. Кратності пари теж однакові. Для комплексних коефіцієнтів це не загальне правило: z−i має лише корінь i.

Що гарантує основна теорема алгебри

Кожний несталий многочлен степеня n≥1 з комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів з урахуванням кратності. Його можна розкласти:

$P(z)=a_n\prod_{j=1}^{n}(z-r_j),\qquad a_n\ne0,\quad n\ge1.$

Корені rⱼ можуть повторюватися й бути дійсними. Теорема не обіцяє n різних або n дійсних коренів і не стосується ненульової сталої. Вона гарантує існування, а не легкий спосіб обчислення. Точне формулювання, NIST DLMF §1.11(ii).

Кубічне рівняння: короткий огляд методу

Кубічний многочлен із дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь: далеко ліворуч і праворуч знаки протилежні, а неперервний графік між значеннями різних знаків мусить пройти через нуль. Після знаходження цього кореня ділення виділяє лінійний множник і лишає квадратне рівняння.

Загальне кубічне спрощують заміною, яка прибирає квадратний член; p,q — отримані дійсні коефіцієнти:

$ax^3+bx^2+cx+d=0,\quad a\ne0,\qquad x=y-\frac b{3a}\ \Rightarrow\ y^3+py+q=0.$

Один із кроків методу Кардано для Δ≥0 має вигляд нижче; кубічні корені тут дійсні, зі знаком підкореневого числа:

$\Delta={(q/2)}^2+{(p/3)}^3,\qquad y=\sqrt[3]{-q/2+\sqrt\Delta}+\sqrt[3]{-q/2-\sqrt\Delta}\quad(\Delta\ge0).$

Для p=−3,q=−2 маємо Δ=0, формула дає y=2. Ділення знаходить решту:

$y^3-3y-2=(y-2){(y+1)}^2.$

Отже, 2 простий, −1 подвійний. При Δ<0 є три різні дійсні корені, але радикальний шлях проходить через комплексні проміжні числа; гілки комплексних кубічних коренів треба узгоджувати. Це напрям подальшого вивчення, а не рецепт незалежно вибирати будь-які два корені. Зведення кубічного й формули, NIST DLMF §1.11(iii). У NIST дискримінант D=−108Δ: знак позначення треба звіряти.

Завершуючи курс, завжди називайте числову область, допустимі значення та спосіб підрахунку коренів. Тоді формула, графік і відповідь описують ту саму задачу.

Дві додаткові перевірки

Розкривши a(x−r₁)(x−r₂)(x−r₃), порівняємо коефіцієнти й отримаємо формули Вієта з коренями, повтореними за кратністю:

$r_1+r_2+r_3=-b/a,\quad r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=c/a,\quad r_1r_2r_3=-d/a.$

Для 2,−1,−1 сума 0, сума попарних добутків −3, добуток 2; вони відновлюють y³−3y−2. Це контроль коефіцієнтів без нового розв’язування.

Додатковий спосіб після правил похідної: у ненульового многочлена дійсний r має кратність m, коли значення P та похідних порядків1,…,m−1 у r нульові, а похідна порядку m ненульова. Повторне диференціювання знімає по одному множнику x−r. Для P=x³−3x+2 в r=1: P=0, P′=0, P″=6, тож кратність 2. Цей спосіб не потрібен для пояснення знака через множники вище.