Один насос наповнює бак за 6 год, другий — за 9 год. За скільки вони впораються разом? Додаються їхні продуктивності, а не часи: відповідь 3 год 36 хв. Щоб рівняння описувало саме цю ситуацію, припустимо сталі потоки, порожній бак на початку, спільний старт, відсутність витоків і впливу насосів один на одного.
Використаємо дроби й відсотки та рівносильні перетворення. Усі числа тут — умовні дані навчальних прикладів.
Назвати невідоме разом з одиницею
Нехай t — числове значення спільного часу в годинах, t > 0. Місткість бака приймемо за одну повну роботу. Тоді перший насос за годину виконує 1/6 роботи, другий — 1/9. Продуктивність вимірюється в «баках за годину», а не годинах.
За t год внески становлять t/6 та t/9 бака. Таблиця перетворює слова на вирази; речення «разом наповнили один бак» дає рівність.
| Насос | Сам, год | Бак/год | За t год |
|---|---|---|---|
| A | 6 | 1/6 | t/6 |
| B | 9 | 1/9 | t/9 |
(t)/(6) + (t)/(9) = 1.
Домножуємо на 18: 3t + 2t = 18, тому t = 18/5 = 3,6 год. Десяткова частина 0,6 год — це 0,6 ⋅ 60 = 36 хв, а не 60 хв чи 6 хв.
Перевірити рівняння й саму ситуацію
Перший насос за цей час наповнить 3,6/6 = 0,6 бака, другий — 3,6/9 = 0,4. Разом рівно один бак. Результат додатний і менший за 6 год — з допоміжним додатним потоком швидше, ніж із найшвидшим насосом наодинці. Модель спільної роботи, OpenStax §8.8.
Середнє (6 + 9)/2 = 7,5 год не може бути відповіддю: воно навіть довше за роботу першого насоса. Якщо потік змінюється з рівнем води або насоси ділять обмежений канал, початкове рівняння потребує іншої моделі. Алгебра не перевіряє ці припущення замість нас.
Рух: знайти зв’язок між часами
Для сталої швидкості s = vt: відстань дорівнює швидкості, помноженій на час. Якщо ту саму відстань d км пройти зі швидкістю 60 замість 80 км/год, час збільшиться на пів години. Отже:
(d)/(60) − (d)/(80) = (1)/(2).
Обидві частки — години. Домножуємо на 240: 4d − 3d = 120, звідки d = 120 км. Перевірка: 2 год проти 1,5 год, різниця 0,5 год. Додаткові зупинки в цій моделі не враховано. Одиниці та таблиці руху, OpenStax §8.8.
Суміш: що саме зберігається
Маємо 20 кг сиропу з 10% цукру за масою. Скільки кілограмів 40%-го сиропу додати, щоб отримати 20%-й? Нехай x ≥ 0 — додана маса в кілограмах. За відсутності втрат і випаровування зберігаються загальна маса та маса цукру:
0,10 ⋅ 20 + 0,40x = 0,20(20 + x).
Ліворуч маса цукру в двох початкових порціях, праворуч — у готовій суміші. Маємо 2 + 0,4x = 4 + 0,2x, тому x = 10 кг. Перевірка: цукру 2 + 4 = 6 кг у 30 кг суміші; 6/30 = 20%. Не додаємо літри як кілограми й не припускаємо, що об’єми сумішей завжди просто додаються.
Відгалуження · База відсоткаЗв’язок із попереднім уроком про відсотки.
Чому не середнє двох відсотків
(10% + 40%)/2 = 25% відповідало б рівним масам сиропів. У нас першого 20 кг, другого 10 кг: слабший сироп має подвійну вагу в середньому. Саме множення частки на масу повертає кількість цукру, яку вже можна додавати.
Рівняння виникає зі зв’язку між величинами: суми виконаних частин, різниці часів або збереження маси. Спершу назвіть невідоме й одиницю, потім запишіть цей зв’язок, розв’яжіть і поверніть результат у початкові умови.