Для прямокутної ділянки зі сторонами (x + 2) м та (x + 3) м потрібна площа. Чому добуток (x + 2)(x + 3) дає (x)^(2) + 5x + 6, а не просто (x)^(2) + 6? Бо кожна частина однієї сторони утворює прямокутник із кожною частиною іншої. Два змішані добутки теж мають свою площу.
Тут знадобляться змінні й розподільний закон та правила степенів. x означає числове значення базової довжини в метрах; для наочного розбиття беремо x > 0.
Чотири частини замість здогадки
Розділимо ширину на x і 2, а висоту — на x і 3. Маємо квадрат із площею (x)^(2), дві смуги з площами 2x та 3x і кутовий прямокутник площею 6. Усі площі виражено у квадратних метрах.
Додаємо внески: (x)^(2) + 2x + 3x + 6 = (x)^(2) + 5x + 6. Щоб зрозуміти, які частини можна об’єднати, назвемо будівельні блоки такого виразу.
Одночлен, коефіцієнт і степінь
Одночлен — число або добуток числового коефіцієнта й змінних у невід’ємних цілих степенях. Наприклад, − 3(a)^(2)b має коефіцієнт −3 та степінь 2 + 1 = 3. У стандартному вигляді числові множники вже перемножені, а кожна змінна записана одним степенем: 2a ⋅ 3ab = 6(a)^(2)b.
Многочлен — сума одночленів; знак мінус можна розуміти як від’ємний коефіцієнт. Коефіцієнти можуть бути цілими, дробовими чи іншими дійсними числами. (x)^( − 1) = 1/x не є одночленом такого шкільного многочлена: показник −1 не є невід’ємним цілим.
Ненульова стала, наприклад 6, має степінь 0. Нульовому многочлену тут не призначаємо степеня. Степінь ненульового многочлена — найбільший степінь його ненульових членів після спрощення. У (x)^(2) + 5x + 6 це 2, а 3(x)^(2) − 3(x)^(2) + 5 = 5 має степінь 0. Означення й операції в OpenStax, §1.4.
Які члени подібні
У 2x та 3x однакова буквена частина, тому 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x. Це подібні члени. У (x)^(2) та x різні степені; складати їхні коефіцієнти в один член не можна. Перевірка за x = 2 швидко виявляє помилку: (x)^(2) + x = 6, а 2(x)^(2) = 8.
Щоб отримати стандартний вигляд многочлена однієї змінної, зводимо подібні члени, прибираємо нульові й розташовуємо степені за спаданням. Наприклад, 6 + 3x + (x)^(2) + 2x = (x)^(2) + 5x + 6.
Додавання й віднімання зберігають знаки
Для додавання прибираємо дужки й збираємо однакові степені:
((x)^(2) + 2x − 1) + (3(x)^(2) − x + 4) = 4(x)^(2) + x + 3.
Для віднімання змінюємо знак кожного члена другого многочлена:
((x)^(2) + 2x − 1) − (3(x)^(2) − x + 4) = − 2(x)^(2) + 3x − 5.
Причина — множення всієї другої дужки на −1: − (3(x)^(2) − x + 4) = − 3(x)^(2) + x − 4. Якщо змінити лише перший знак, отримаємо інший вираз.
Множення: кожний із кожним
Розподільний закон дає два послідовні кроки:
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3).
Тепер розкриваємо обидві дужки: (x)^(2) + 3x + 2x + 6 = (x)^(2) + 5x + 6. У добутку двох двочленів спочатку виникають чотири добутки; деякі потім стають подібними. Цей спосіб працює і для більшої кількості членів — жоден внесок не можна пропускати.
За x = 4 початкова ділянка має площу 6 ⋅ 7 = 42 м². Після перетворення отримуємо 16 + 20 + 6 = 42 м². Числова перевірка корисна для пошуку помилки; саму тотожність для всіх чисел обґрунтовує розподільний закон.
Відгалуження · Межа моделіДодатково про від’ємні значення; основний спосіб множення вже виведено.
Коли прямокутник перестає бути поясненням
За x = − 1 алгебраїчна тотожність усе ще дає ( − 1 + 2)( − 1 + 3) = 2 та 1 − 5 + 6 = 2. Але розбивати сторону на відрізок довжини −1 м не можна. Наш малюнок із чотирма звичайними площами більше не підходить, навіть якщо зовнішні сторони залишилися додатними. У такому випадку спираємося на закон дій, а не на буквальну геометричну картинку.
Многочлен зберігає окремі внески до результату. Подібні члени можна зібрати, а при множенні треба врахувати всі пари. Саме тому в площі нашої ділянки з’являється середній член 5x.