Після трьох вдалих жеребкувань поспіль чи мусить наступне компенсувати серію? Ймовірність задає модель одного досліду; частота описує вже отриману серію. Коротка серія не створює боргу випадковості. Потрібні нерівності та рахування варіантів.

Спочатку простір результатів

Дослід — процедура з результатом, який заздалегідь невідомий; елементарний результат — один можливий підсумок, подія — множина результатів. У моделі обираємо одну із чотирьох однаково доступних карток:

Ω = {A,B,C,D}, E = {A,B}, P(E) = (2)/(4) = (1)/(2).

Формула «сприятливі / всі» працює для скінченного простору рівноможливих результатів. Без цієї умови підрахунок сам по собі не визначає ймовірності: для карток із різними шансами треба додавати їхні ваги. OpenStax

Неможлива подія ∅ має ймовірність 0, достовірна Ω — 1. В основі моделі — невід’ємність, сумарна ймовірність 1 та додавання ймовірностей попарно несумісних подій; у загальній аксіоматиці додавання діє і для зліченних сімей, які можна перенумерувати.

P(Ω) = 1, P(∅) = 0, 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Об’єднання E∪F означає «хоч одна», перетин E∩F — «обидві», доповнення — «не E» з ймовірністю 1−P(E). Спільну частину в об’єднанні не рахуємо двічі:

P(E∪F) = P(E) + P(F) − P(E∩F).

F = {B,C}: P(E∪F) = (1)/(2) + (1)/(2) − (1)/(4) = (3)/(4).

Аксіоми та їх наслідки, MIT.

Що показує серія

Якщо за n повторень E відбулося mₙ разів, відносна частота:

ν_(n) = (m_(n))/(n).

На схемі наведено авторську ілюстративну послідовність A,B,A,C,A,D,C,B,D,C,A,D з поверненням картки. Перші три результати належать E, а в усіх дванадцяти таких шість. Це сконструйований приклад, не журнал вимірювань.

Рівноможливі результати

Ω={A,B,C,D}; E={A,B}

ABCD01/4результатP

Накопичена частота E

A B A C A D C B D C A D; -- p=1/2

03691201/21nνₙ
Угорі категорії A–D, кожна має шанс 1/4; A,B утворюють E. Внизу авторська послідовність, не вимірювання: n — кількість дослідів, νₙ — безрозмірна частка. Лінії лише з’єднують дискретні точки; при n=0 частоту не визначено.

Незалежність тут означає, що попередні результати не змінюють шанс нового досліду. Для незалежних повторень з тією самою ймовірністю p закон великих чисел каже: ймовірність відхилення частоти від p за модулем більше за будь-який наперед заданий додатний поріг прямує до нуля зі зростанням n. Це не гарантує монотонного наближення й не вимагає рівноваги в короткій серії. У незалежній моделі повернення картки й нове рівномірне перемішування зберігають наступний шанс 1/2 навіть після трьох успіхів. Закон великих чисел, MIT.

Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити

Площі та метод Монте-Карло

Якщо точка рівномірно обирається на відрізку, ймовірність потрапити в підвідрізок — відношення довжин; для рівномірної точки в області — відношення площ. Рівномірність тут означає однакову ймовірність для рівних довжин або площ, а не однакові позитивні шанси для кожної окремої точки. Окрема точка може бути можливим результатом і мати ймовірність 0: тому обернення «P=0 ⇒ неможливо» не універсальне. Неперервна рівномірна модель.

У квадраті 0≤x,y≤1 трикутник x+y≤1 займає половину площі: діагональ ділить квадрат на дві рівні частини. Метод Монте-Карло оцінює цю частку як k/N, генеруючи N незалежних рівномірних точок і рахуючи k усередині трикутника. Обчислювальна оцінка коливається; вона не замінює геометричного доведення 1/2.

Порівнюйте частоту з моделлю, але спершу перевірте самі припущення: рівноможливість, повернення й незалежність. Інакше точна арифметика може описувати інший дослід.