Дробові й ірраціональні рівняння: навіщо перевіряти відповідь

Після перетворення рівняння ми часто отримуємо кандидатів, а не готову відповідь. Число може обнулити початковий знаменник або мати неправильний знак після піднесення до квадрата. Перевірка повертає нас до питання, яке було поставлене спочатку.

Спираємося на алгебраїчні дроби, корені, системи та квадратні рівняння. Працюємо в дійсних числах.

Невідомий час у знаменнику

Перший насос наповнює бак за 6 год. Разом із другим вони наповнюють його за 2 год. За сталих незалежних потоків, без витоків і зі спільним стартом нехай $x>0$ — час другого насоса наодинці в годинах. Продуктивності дають:

\frac16+\frac1x=\frac12.

Це дробове раціональне рівняння: невідоме стоїть у знаменнику. Початкова область вимагає $x\ne0$ , а фізична умова — $x>0$ . Домножуємо на $6x$ , ненульовий на цій області: $x+6=3x$ , тому $x=3$ год. Перевірка $1/6+1/3=1/2$ підтверджує продуктивність, а додатний час — зміст відповіді.

Скорочення може приховати відсутність розв’язку

Розгляньмо $\frac{x^2-1}{x-1}=2$ . Спочатку $x\ne1$ . Після скорочення маємо $x+1=2$ , але умова $x\ne1$ нікуди не зникає. Єдиний кандидат 1 заборонений, тому початкове рівняння не має розв’язків. Підстановка дала б $0/0$ , а не 2. Раціональні рівняння, OpenStax §2.2.

Квадрат прибирає знак, потрібний рівнянню

Ірраціональне рівняння тут означає рівняння зі змінною під знаком кореня. У $\sqrt{x+2}=x$ область радикала — $x\ge-2$ . Однак ліва частина невід’ємна, тож рівність додатково вимагає $x\ge0$ .

Квадрат обох частин дає $x+2=x^2$ , або $(x-2)(x+1)=0$ . Якщо розв’язати це квадратне рівняння без умови знака, отримаємо 2 та −1. Для 2 початковий запис дає $\sqrt4=2$ ; для −1 — $\sqrt1=1\ne-1$ . Лишається $x=2$ .

Початкове рівняння

y = √(x + 2); y = x

Після квадрата

y = x + 2; y = x²

Кандидат x	Перевірка √(x+2)=x	Рішення
−1	1 ≠ −1	Відкинути
2	2 = 2	Залишити

Суцільна крива — ліва частина, штрихова — права. Спочатку y=√(x+2) та y=x перетинаються тільки в (2,2). Після квадрата y=x+2 та y=x² мають ще перетин (−1,1). Це інші залежності; їхні y не можна переносити до першої панелі. Шкали рівномірні, одиниці умовні.

Число −1 допустиме для радикала, але не є коренем рівняння. Це сторонній кандидат після квадрата, а не заборонене підкореневе значення. Якщо від початку зберегти $x\ge0$ , перехід до $x+2=x^2$ рівносильний на цій умові; зайвий кандидат відсіюється ще до підстановки. Радикальні рівняння й сторонні корені, OpenStax §2.6.

Заміна теж має образ і зворотний крок

У $x+\sqrt x-6=0$ область $x\ge0$ . Позначимо $t=\sqrt x$ , отже $t\ge0$ і $x=t^2$ . Маємо $t^2+t-6=0$ , тобто $(t-2)(t+3)=0$ . Значення $t=-3$ не може бути арифметичним коренем, тому лишається $t=2$ , $x=4$ . Перевірка: $4+2-6=0$ .

Взяти обидва $t$ й просто піднести їх до квадрата означало б помилково додати $x=9$ . У початковому рівнянні це дало б $9+3-6=6$ , не нуль. Умова на нову змінну така сама обов’язкова, як умова на стару.

Нелінійна система: графік відповідає на своє питання

Другу панель рисунка можна прочитати як самостійну систему $y=x^2$ , $y=x+2$ . Вона нелінійна, бо одне рівняння містить квадрат змінної. Підставляючи $y=x+2$ у перше, отримуємо $x^2=x+2$ , звідки $x=-1$ або 2. Повернення до $y$ дає пари $(-1,1)$ та $(2,4)$ . Обидві задовольняють цю систему.

У ній −1 не сторонній: система справді має два перетини. Але вона описує рівність квадратів, а початкове $\sqrt{x+2}=x$ вимагало ще невід’ємного $x$ . Графічний контроль корисний, коли чітко підписано, яке саме рівняння чи систему намальовано. Точні координати підтверджує підстановка в обидві умови. Нелінійні системи, OpenStax §11.3.

Відгалуження · Повнота відповідіЗв’язок із правилами рівносильності.

Перевірка не повертає загубленого

Якщо в $x(x-1)=0$ поділити на $x$ , лишиться лише 1. Підстановка підтвердить його, але не знайде пропущений 0. Тому спершу зберігаємо всі випадки й умови, а перевіркою відсіюємо зайві знайдені значення. Перевірка кандидатів і доведення повноти — обидві потрібні частини розв’язування.

Список знайдених чисел стає відповіддю після повернення до початкових знаменників, знаків і зв’язків між змінними. Одне коротке запитання допомагає контролювати кожний крок: чи можна з нового запису повернутися до старого на вказаній області?