Маємо 20 м огорожі для всіх чотирьох сторін прямокутника. Яка форма дасть найбільшу площу? Похідна знаходить кандидатів, але відповідь визначають також допустимі розміри та кінці проміжку. Потрібні знаки виразу, парабола та правила похідних.
Якщо одна сторона x метрів, друга 10−x. Додаємо вироджені прямокутники на кінцях як математичну межу моделі:
A(x) = x(10 − x), 0 ≤ x ≤ 10; A(x) = 25 − (x − 5)^(2).
Вже видно, що площа не перевищує 25 м²: квадрат зі стороною 5 м дає рівність. Тепер знайдемо ту саму відповідь через зміну площі.
Зростання змінюється спаданням
A′(x) = 10 − 2x; A′(5) = 0; A(0) = A(10) = 0, A(5) = 25.
На (0,5) похідна додатна, площа зростає; на (5,10) від’ємна, площа спадає. Зміна + на − доводить локальний максимум. Додатна похідна на всьому інтервалі є достатньою умовою зростання; зростаюча функція може мати окремі нулі похідної, як x³.
Площа та допустимі кінці
A=x(10−x); A(5)=25; A(3)=21
Знак похідної
A′=10−2x
Критичні точки — внутрішні допустимі точки, де похідна нульова або не існує. Для неперервної функції на замкненому обмеженому відрізку найбільше й найменше значення існують; порівнюємо значення в критичних точках і на кінцях. Локальний екстремум порівнює лише сусідів, глобальний — весь допустимий набір. Означення й умови.
Друга похідна та нове обмеження
A′′(x) = − 2; (max)_(0 ≤ x ≤ 3)A(x) = A(3) = 21.
Друга похідна показує зміну нахилу: f″>0 — нахил зростає, форма ∪; f″<0 — нахил спадає, форма ∩. Тут −2 підтверджує максимум у стаціонарній точці. Якщо f″=0, сам цей факт висновку не дає: у x⁴ при нулі немає зміни опуклості. Форма графіка.
Якщо місце дозволяє x≤3, точка 5 недоступна. На [0,3] площа зростає й найбільша на кінці: 21 м² при сторонах 3 і 7 м. Похідна там 4, а не нуль. Це інша задача через інше обмеження; оптимізація моделі не гарантує зручності реальної ділянки. OpenStax
Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити
Теореми, середній нахил і нерівність Єнсена
Теорема Ферма: у внутрішньому локальному екстремумі диференційовної функції похідна нульова. Зворотне хибне: у x³ похідна в нулі нульова, але максимуму чи мінімуму немає.
Ролль: якщо f неперервна на [a,b], диференційовна на (a,b) й f(a)=f(b), десь усередині f′(c)=0. У нашої A кінці 0 і 10 мають однакову площу 0, горизонтальна дотична — при 5. Лагранж за перших двох умов гарантує внутрішню дотичну з нахилом січної:
A′(2) = 6 = (A(4) − A(0))/(4 − 0).
На [0,4] середній нахил 6 реалізується при c=2. Теореми Ролля й Лагранжа.
Для форми ∪, коли графік не вище хорди на інтервалі (convex), нерівність Єнсена стверджує:
f(λa + (1 − λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b), 0 ≤ λ ≤ 1.
a,b належать цьому інтервалу. Для ∩ знак обертається. Наприклад, для A середнє площ при x=3 та 7 дорівнює 21, тоді як площа при середньому x=5 дорівнює 25. Середина дає не менше саме завдяки формі ∩. MIT, Convex functions, слайди 3–2 і 3–12.
Щоб знайти максимум, спершу визначте допустимий набір, потім кандидатів і характер зміни, а наприкінці порівняйте фактичні значення. У нашій задачі 5×5 м найкраще лише доки це дозволяють усі обмеження.