Дві серії виконання задачі в середньому тривали 10 хвилин. Чи однаково передбачуваний їхній час? Середнє описує центр, а розкид — відстані значень від нього. Для порівняння потрібні обидва. Потрібні корені, сподівання і дані вибірки.
Візьмемо вигадані навчальні набори часу, хв: A=[9,10,10,10,11], B=[6,8,10,12,14]. У кожному п’ять значень із сумою 50.
Три способи назвати центр
Середнє арифметичне — сума, поділена на кількість. Позначимо його m:
m = (x_(1) + ⋯ + x_(n))/(n).
В обох наборах m=10 хв. Це опис наявних даних, а не відоме сподівання невідомого процесу. Якщо випадково рівномірно вибрати одне з п’яти записаних значень, сподівання цієї окремо визначеної моделі дорівнює m.
Медіана впорядкованих чисел — середнє за позицією значення при непарній кількості; при парній — арифметичне середнє двох центральних. Наприклад, у [8,9,11,20] вона (9+11)/2=10, хоча середнє 12. В A і B медіана теж 10.
Мода — найчастіше значення: в A це 10. У B усі значення трапляються по разу, тому жодне не виділяється частотою. Мод може бути кілька; завжди вказуйте прийняту домовленість для рівних частот. Показники центру.
A · п’ять значень
9,10,10,10,11
B · п’ять значень
6,8,10,12,14
Наскільки далеко від центру
Розмах — максимум мінус мінімум: 2 хв в A, 8 хв у B. Він використовує лише краї. Для всіх відхилень від m обчислимо описову дисперсію саме цих n чисел та її корінь:
D = (1)/(n)((∑)_(i = 1))^(n)((x_(i) − m))^(2), σ = √(D).
Звичайна сума відхилень дорівнює нулю навіть у розкиданих даних; квадрати прибирають взаємне погашення знаків. D має одиниці хв², σ повертає хвилини.
D_(A) = (1 + 0 + 0 + 0 + 1)/(5) = 0.4, D_(B) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/(5) = 8.
Отже, σ_A=√0.4≈0.6325 хв, σ_B=√8≈2.8284 хв. Це масштаб розкиду, а не гарантія, що кожне значення відрізняється від середнього не більше ніж на σ. OpenStax
Чому інколи ділять на n−1
Якщо мета — оцінити дисперсію генеральної сукупності за незалежною однаково розподіленою вибіркою зі скінченною дисперсією, застосовують виправлену оцінку:
(s)^(2) = (1)/(n − 1)((∑)_(i = 1))^(n)((x_(i) − m))^(2) (n > 1).
Для тих самих чисел s²_A=2/4=0.5 хв², s²_B=40/4=10 хв². Вона відповідає іншій задачі, ніж описова D з дільником n; домовленість треба назвати. Поправка не усуває викривлення відбору з A046. Формула вибіркової дисперсії, NIST.
Нарешті, замінимо лише 14 у B на 50: середнє стане 17.2, медіана лишиться 10. Перевіряйте крайні значення за змістом, не видаляйте їх автоматично. Повідомляйте число спостережень, центр, розкид, одиниці й спосіб збору — одна цифра всього цього не вміщує.