Синус, косинус і тангенс: від кута до висоти

Відомо, на скільки метрів ви відійшли від стовпа, і під яким кутом видно його верхівку. Теореми Піфагора ще недостатньо: є лише одна довжина. Тригонометрія додає зв’язок із кутом.

Для гострого кута прямокутного трикутника синус — протилежний катет, поділений на гіпотенузу; косинус — прилеглий катет на гіпотенузу; тангенс — протилежний катет на прилеглий. Ці відношення залежать від кута, а не від розміру трикутника. Причина — подібність за AA; теорема Піфагора допоможе перевіряти довжини.

Обираємо кут — називаємо сторони

Нехай α — вибраний гострий кут, a — протилежний до нього катет, b — прилеглий катет, c — гіпотенуза. Тоді для 0°<α<90°:

$\sin\alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos\alpha=\frac{b}{c},\qquad \tan\alpha=\frac{a}{b}.$

Гіпотенуза завжди навпроти прямого кута. Вона торкається вершини α, але не є прилеглим катетом. Якщо вибрати другий гострий кут, a й b поміняються ролями; гіпотенуза лишиться тією самою. У схемі sinα=3/5, cosα=4/5, tanα=3/4. AMSI, означення й вибір сторін.

Сторони відносно α

Кут вимірюємо від горизонталі

0,6 / 3 = 20%, а не 20°

Усі панелі мають рівномірний власний масштаб. Перша: α при A; протилежний катет BC=a=3, прилеглий AB=b=4, гіпотенуза AC=c=5. Друга: горизонталь d=12 м проведена на рівні приладу e=1,6 м; лінія зору під 35° дає H≈10,0 м за спільного рівня землі. Третя: h=0,6 м,d=3 м,L≈3,06 м, кут≈11,31°; вертикаль не перебільшено. Позначки прямого кута відділяють висоту від похилої.

Усі три відношення безрозмірні: метри діляться на метри. Для гострого кута 0<sinα<1, 0<cosα<1, tanα>0. Збільшення всіх сторін удвічі не змінює жодного відношення.

Вибір формули залежить від даних

Не треба згадувати всі формули одночасно: позначте відому сторону та шукану.

Протилежний катет і гіпотенуза → синус: a=c sinα або c=a/sinα.
Прилеглий катет і гіпотенуза → косинус: b=c cosα або c=b/cosα.
Обидва катети → тангенс: a=b tanα або b=a/tanα.

Якщо відомі два катети, кут знаходиться як α=arctan(a/b). Напис tan⁻¹ на калькуляторі зазвичай означає цю обернену функцію, не 1/tanα. Для градусних даних установіть DEG. Другий гострий кут дорівнює 90°−α.

Для швидкої перевірки можна вивести кілька точних значень.

30°: sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3.
45°: синус і косинус дорівнюють √2/2, тангенс — 1.
60°: синус — √3/2, косинус — 1/2, тангенс — √3.

Значення для 30° і 60° випливають із половини рівностороннього трикутника, для 45° — із прямокутного рівнобедреного.

Поділивши a²+b²=c² на c², також отримуємо sin²α+cos²α=1; із відношень випливає tanα=sinα/cosα. Це перевірки узгодженості, не заміна правильного вибору сторін.

Висота: не забудь рівень приладу

Прилад стоїть на висоті e=1,6 м над землею. Відстань по горизонталі до вертикального стовпа d=12 м; кут підйому лінії зору від горизонталі α=35°. Якщо земля біля приладу й основи стовпа на одному рівні, то:

$H=e+d\tan\alpha=1{,}6+12\tan(35\text{°})\approx10{,}0\ \text{м}.$

Тангенс дає перевищення верхівки над приладом, тому e додаємо. Для основи нижче чи вище потрібна окрема поправка рівня. Число 10,0 — округлений результат ідеальної моделі, не обіцянка точності реального кутоміра.

Похила відстань L уздовж лінії зору — інша величина. Якби відома була вона, перевищення дорівнювало б L sinα, а горизонтальна проєкція — L cosα. Підставляти L замість d у формулу з тангенсом не можна.

Ухил 20% — не 20°

Для прямолінійного підйому висота h, горизонтальна довжина d та похила довжина L утворюють прямокутний трикутник. Відсотковий ухил:

$i=\frac{h}{d}\cdot100\%=\tan\alpha\cdot100\%.$

Підйом 0,6 м на горизонтальних 3 м дає 20%. Кут — arctan(0,2)≈11,31°, а похила довжина — √(3²+0,6²)≈3,06 м. Тому знаменник — 3 м, а не 3,06 м. При 45° ухил 100%; відсоток не має верхньої межі 100, як частка цілого. Esri: три способи виразити ухил.

Для задач цього уроку вистачає гострих кутів і прямокутних трикутників. Повне коло, знаки та періодичність уже належать тригонометрії в курсі алгебри.