У вершині куба сходяться три квадрати, у вершині правильного тетраедра — три трикутники. Чи однакові ці кути, якщо граней порівну? Цей додатковий урок відрізняє кут у грані від кута між гранями та пояснює, чому правильних опуклих тіл лише п’ять.

Передумови: кути в просторі, перерізи, координати простору, куб і призми.

Кут утворюють кілька граней

Многогранний кут біля вершини опуклого многогранника — частина простору між гранями, які там сходяться, разом із межею. Спільна вершина є початком ребер-променів; кожна пара сусідніх ребер обмежує плоский кут у грані. Три грані дають тригранний кут; три ребра не лежать в одній площині.

Плоскі кути вершини куба — три рази по 90°, разом 270°. У правильного тетраедра — три рази по 60°, разом 180°. Це не значення одного двогранного кута. Двогранний кут вимірює розкриття двох граней поперек їхнього спільного ребра, як у G026.

Кожний плоский кут невиродженого опуклого тригранного кута менший за суму двох інших, а сума всіх трьох менша за 360°. Для опуклої вершини з більшою кількістю граней також потрібна сума плоских кутів менша за 360°: плоске заповнення навколо точки не створює просторової опуклої вершини.

Три грані: різні плоскі кути

3 × 90°3 × 60°

Тетраедр, куб, октаедр: p та q

p=3q=3p=4q=3p=3q=4

Два різні просторові геометричні місця

ABx=0x²+y²=1z
Власні паралельні проєкції: екранні координати u=x−y/2, v=0,3x+0,45y−0,85z з окремим рівномірним масштабом для кожного об’єкта. Вони не зберігають просторових кутів: позначки 90°/60° належать вихідним моделям, не екранним трикутникам. Тетраедр має вершини (1;1;1), (1;−1;−1), (−1;1;−1), (−1;−1;1), куб — (±1;±1;±1), октаедр — кінці одиничних координатних векторів із двома знаками. Усі каркаси прозорі; пунктир показує всі ребра однаково, не класифікує видимість. Унизу ліворуч — лише вікно нескінченної площини x=0 між A(−2;0;0), B(2;0;0), праворуч — фрагмент нескінченної циліндричної поверхні радіуса1; кола на кінцях позначають межі показаного фрагмента, не кришки.

Чому правильних тіл п’ять

Тут правильний опуклий многогранник має рівні правильні багатокутники як грані та однаковий устрій біля кожної вершини. Нехай у грані p сторін, а у вершині сходяться q граней, де p,q≥3. Внутрішній кут правильної p-кутної грані — 180°(p−2)/p, тому:

q(180(p − 2))/(p) < 360, (p − 2)(q − 2) < 4.

Цілі числа залишають лише такі пари:

ТілоpqСума кутів у вершині
Правильний тетраедр33180°
Куб43270°
Правильний октаедр34240°
Правильний додекаедр53324°
Правильний ікосаедр35300°

Нерівність відсіює інші можливості — це необхідна умова. Існування цих п’яти тіл підтверджують окремі побудови; однієї нерівності недостатньо, щоб «зібрати» тіло. Класифікація тут лише для опуклих правильних многогранників у тривимірному евклідовому просторі, не для зірчастих тіл чи довільних сіток.

Симетрія зберігає все тіло

У куба поворот на 90° навколо осі через центри протилежних граней переставляє вершини й грані. Поворот на 120° навколо великої діагоналі також зберігає куб. Для координат вершин (±1;±1;±1) це видно з перетворень (x;y;z)→(−y;x;z) та (x;y;z)→(y;z;x): кожна вершина переходить у вершину, зберігаються відстані та ребра.

Самого схожого силуету на фото недостатньо. Просторова симетрія зберігає весь набір точок тіла, включно з невидимою стороною; проєкція може приховати різницю.

Геометричні місця точок у просторі

Геометричне місце — всі й тільки точки із заданою властивістю. У просторі відповіддю може бути площина або поверхня:

  • Рівновіддалені від двох різних точок A,B — площина через середину AB, перпендикулярна AB. Наприклад, для A(−2;0;0), B(2;0;0) рівність квадратів відстаней скорочується до x=0; це перевіряє обидва напрямки.
  • Рівновіддалені від трьох неколінеарних точок — пряма через центр описаного навколо їхнього трикутника кола, перпендикулярна до площини трикутника. Це перетин двох серединних перпендикулярних площин.
  • Віддалені на a>0 від площини z=0 — дві площини z=±a. При a=0 залишається одна.
  • Рівновіддалені від паралельних площин z=0 та z=4 — середня площина z=2, бо |z|=|z−4|.
  • Рівновіддалені від площин x=0 та y=0, що перетинаються, — дві бісекторні площини x=y та x=−y: |x|=|y|.
  • Рівновіддалені від трьох неколінеарних точок — пряма через центр описаного навколо їхнього трикутника кола, перпендикулярна до площини трикутника. Це перетин двох серединних перпендикулярних площин.
  • Віддалені на a>0 від осі z — нескінченна циліндрична поверхня x²+y²=a². Координата z довільна; це не заповнений циліндр скінченної висоти. При a=0 лишається вісь.

Так попередні правила відстаней дозволяють впізнавати фігури, які не обов’язково є многогранниками.

Відгалуження · Далі за курсНеобов’язково · лише короткий погляд уперед

Перспектива: чотиривимірний куб

Квадрат задається двома координатами між 0 і 1, куб — трьома. Аналог у чотирьох координатах: 0≤xᵢ≤1, i=1,2,3,4. У вершинах кожна координата дорівнює 0 або 1, тому вершин 2⁴=16. Це чотиривимірний куб, або тесеракт. Його тривимірна проєкція не є шостим правильним тривимірним тілом; вона втрачає частину геометричної інформації, як плоский рисунок куба. Повну геометрію чотирьох вимірів тут не розглядаємо.

Порівнюючи каркаси, назвіть грані, плоскі й двогранні кути та клас тіл. Для геометричного місця сформулюйте властивість і перевірте обидва напрямки: малюнок показує приклад, а умова визначає всю фігуру.

Джерела й межі

Мерзляк та співавтори, геометрія 10 класу, профільний рівень, п.17, PDF176–178 — многогранні кути; Нелін, геометрія 10 класу, §17, PDF160 — просторові геометричні місця. Евклід, «Начала», XIII.18, примітка і Cambridge NRICH — п’ять правильних тіл та кутові обмеження. John Baez, UC Riverside, запис 26 серпня 2019 — 16 вершин чотиривимірного куба; координатний підрахунок вище власний. Перевірки симетрій і координатні приклади власні; про фізичні додаткові виміри тверджень немає.