Теореми синусів і косинусів: від бази до недоступної відстані

Дві точки видно з берега, але пройти між ними з рулеткою неможливо. Натомість можна виміряти доступний відрізок AB та напрями на обидві цілі з його кінців. Результат дає не одна чарівна формула, а два кроки: відновити відстані до цілей і з’єднати їх третім трикутником.

Теорема синусів пов’язує кожну сторону з протилежним кутом. Теорема косинусів знаходить третю сторону за двома сторонами й кутом між ними. Обидві працюють у довільному невиродженому трикутнику, включно з тупокутним. Потрібні кути в колі, Піфагор та тригонометрія прямокутного трикутника.

Що означають синус і косинус тупого кута

Для кутів від 0° до 180° беремо точку одиничного півкола: її горизонтальна координата — cosα, вертикальна — sinα. Для гострого кута це збігається з відношеннями сторін. Для тупого точка лівіше центра: синус додатний, косинус від’ємний. Наприклад, sin120°=√3/2, cos120°=−1/2. При 90° синус 1, косинус 0.

Повний виклад координат кута є в уроці алгебри про одиничне коло. Тут достатньо півкола й правил sin(180°−α)=sinα та cos(180°−α)=−cosα. AMSI.

Дві теореми з незмінною відповідністю

Для трикутника ABC позначимо a=BC, b=CA, c=AB. Тоді a лежить навпроти A, b — навпроти B, c — навпроти C. Усі кути строго між 0° та 180°, їхня сума 180°.

Теорема синусів:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$

де R — радіус описаного кола. Чому з’являється діаметр 2R? Та сама хорда в колі відповідає гострому вписаному куту в прямокутному трикутнику з гіпотенузою-діаметром. Для тупого кута беремо доповняльний до 180°: синус не змінюється. Отже, кожна сторона, поділена на синус протилежного кута, дає один діаметр. Для кута 90° протилежна сторона сама є діаметром, а sin90°=1.

Теорема косинусів:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$

Кут C стоїть між a й b. Аналогічні рівності отримуємо перестановкою букв. При C=90° поправка зникає й лишається теорема Піфагора; при тупому C косинус від’ємний, тому віднімання поправки збільшує c².

Ідея виведення: підписана проєкція сторони b на пряму CB дорівнює b cosC, висота — b sinC. Тоді квадрат відстані до B дорівнює (a−b cosC)²+(b sinC)². Розкриття дужок і sin²C+cos²C=1 дають формулу. Якщо проєкція від’ємна або виходить за B, горизонтальну довжину беремо за модулем; її квадрат лишається тим самим. AMSI: обидві теореми та докази.

Півколо: cos120° < 0

1 · Напрями на C: 60° і 60°

2 · Напрями на D: 30° і 90°

3 · Трикутник ACD дає відстань CD

SSA: два перетини, два трикутники

Панель 1 — одиничне півколо: точка 120° має координати (−1/2;√3/2). Панелі 2–4 мають спільний рівномірний масштаб, довжини в метрах: AB=40, C=(20;20√3), D=(40;40/√3) відносно A з горизонтальним напрямком AB. Для кожної цілі окремо показано виміряні кути; потім відстань CD знайдено з ACD. Остання панель має власний масштаб: A=30°,AC=b=10,CB₁=CB₂=a=7; B₁ ближче до A, кут B₁ тупий; B₂ далі, кут B₂ гострий. Допоміжне коло робить обидві можливості видимими.

Як вибрати перший крок

Сторона й два кути: обчислити третій кут, потім теорема синусів.
Дві сторони й кут між ними, SAS: теорема косинусів дає третю сторону.
Три сторони, SSS: знайти кут через cosC=(a²+b²−c²)/(2ab); перед цим перевірити нерівності трикутника.
Дві сторони й кут навпроти однієї, SSA: перевірити всі можливі кути; відповідь може бути неоднозначною.

Самих кутів недостатньо для довжин: вони задають форму, але не масштаб.

Одна база — дві недоступні точки

У плоскій моделі AB=40 м. Цілі C й D по один бік від бази. Виміряно чотири внутрішні кути:

Для C: ∠CAB=60°, ∠CBA=60°.
Для D: ∠DAB=30°, ∠DBA=90°.

У трикутнику ABC третій кут 60°, тому AC=40·sin60°/sin60°=40 м. У ABD третій кут 60°, тому AD=40·sin90°/sin60°=80/√3 м.

Обидва напрями від A відлічено від променя AB в один бік, отже ∠CAD=60°−30°=30°. У третьому трикутнику ACD тепер відомі дві сторони та кут між ними:

$(CD)^2=40^2+\left(\frac{80}{\sqrt3}\right)^2-2\cdot40\cdot\frac{80}{\sqrt3}\cos(30\text{°})=\frac{1600}{3}.$

Отже, CD=40/√3≈23,09 м. Округлюємо наприкінці. Тут прохідною була тільки база AB; відстані AC,AD та CD обчислені. Землю вважаємо площиною, напрями — точними: реальні похибки бази й кутів не включені в ідеальний результат.

SSA: калькулятор може приховати другий трикутник

Нехай A=30°, a=7, b=10. За теоремою синусів sinB=b sinA/a=5/7. Калькулятор дає B≈45,58°, але такий самий синус має 180°−B≈134,42°. З A=30° обидва залишають додатний третій кут, тому є два різні трикутники.

У схемі фіксовані AC=10 і промінь AB під 30° до AC; коло із центром C радіуса 7 перетинає промінь у B₁ та B₂. Відповідні довжини AB можна також отримати з квадратного рівняння: c=5√3±2√6, тобто приблизно 3,76 або 13,56.

Не кожні SSA-дані дають два розв’язки. Якщо обчислений синус більший за 1, трикутника немає; кожен можливий кут окремо перевіряємо за A+B<180°. AMSI, неоднозначний випадок.