Два підвищення на 10% перетворюють умовні 100 одиниць на 121, а не 120. Другий відсоток рахують уже від 110. Геометрична прогресія зберігає множник, а не різницю. Потрібні відсотки, степені і послідовності.
Один і той самий крок множення
Для ненульового першого члена та ненульового сталого множника q:
b_(n + 1) = qb_(n), b_(n) = b_(1)(q)^(n − 1).
Від першого до n-го члена n−1 множень. Послідовність 3,6,12,24 має q=2; 8,4,2,1 має q=1/2; при q<0 знаки чергуються. Спадання додатної прогресії потребує 0<q<1.
Подвоєння
bₙ=3·2ⁿ⁻¹
Наближення суми
Sₙ=2(1−2⁻ⁿ)
Суму можна відновити
Нехай S_(n) = b_(1) + b_(1)q + ⋯ + b_(1)(q)^(n − 1). Віднімаємо qSₙ: проміжні члени скорочуються, (1 − q)S_(n) = b_(1)(1 − (q)^(n)). Тому
S_(n) = b_(1)(1 − (q)^(n))/(1 − q) (q ≠ 1); S_(n) = nb_(1) (q = 1).
Для 3,6,12,24 сума 45. Нескінченна ненульова геометрична сума існує саме при |q|<1: хвіст містить qⁿ, що прямує до нуля.
S_(∞) = (b_(1))/(1 − q), ∣q∣ < 1.
Наприклад, 1+1/2+1/4+…=2; скінченна сума завжди менша за 2. При q=−1 члени коливаються, при q=1 не зменшуються: формулу границі застосовувати не можна. OpenStax
Стала ставка не означає сталий приріст
За n однакових періодів, ставки r за період і без внесків, зняття, комісій чи округлення:
P_(n) = P_(0)(1 + r)^(n), (P_(n))^(simple) = P_(0)(1 + nr).
Для P_(0) = 100, r = 0,1, n=2 маємо 121 проти 120. Простий відсоток щоразу береться від початкової бази. Зменшення на 20% дає q=0,8, а не −0,2. Це навчальна модель, не прогноз доходу: спочатку визначте базу й період, а потім множник.