Корені многочлена: кратність і комплексні розв’язки
Додаткова тема: дотик і перетин осі, спряжені корені, основна теорема алгебри та огляд кубічних рівнянь.
Архів тегу
#алгебра
Статті: 51
Комплексні числа: число з двома координатами
Додаткова тема: арифметика a+bi, спряження, модуль, аргумент і множення як поворот та масштаб.
Параметр: одна формула, різна кількість розв’язків
Додаткова тема: два умовні тарифи, нульовий коефіцієнт, допустимий обсяг і сім’я парабол.
Математична індукція: довести для кожного кроку
Додаткова тема: база, припущення та перехід у доведенні суми непарних чисел; приклад хибного кроку.
Середнє й розкид: що приховують десять хвилин
Два набори з однаковим середнім: медіана, мода, розмах, дисперсія й стандартне відхилення.
Вибірка й діаграма: кого представляють дані
Сукупність, вибірка, частоти й викривлені шкали на прикладі п’яти відповідей про дорогу на роботу.
Випадкова величина: чому сподівання не є обіцянкою
Розподіл балів, зважене середнє та лінійність сподівання на прикладі чотирьох карток.
Умовна ймовірність: що змінює відома подія
Два витягування з поверненням і без нього, дерево, таблиця 2×2 та незалежність проти несумісності.
Ймовірність: модель і частота не тотожні
Рівноможливі результати, події, аксіоми, частота та закон великих чисел; геометрична ймовірність.
Комбінаторика: команда чи різні ролі
Правила суми й добутку, перестановки, розміщення та комбінації; повторення й біном у відгалуженні.
Інтеграл: як складаються малі внески
Змінна витрата води, суми прямокутників, формула Ньютона—Лейбніца, знак, площа й об’єм.
Первісна: від швидкості до величини
Чому первісних безліч, як початкова умова обирає одну та як перевіряти прості інтеграли.
Знайти максимум: похідна й межі задачі
Площа за фіксованого периметра: критичні точки, кінці відрізка, друга похідна й умови теорем.
Правила похідних: стежити за кожною залежністю
Сума, добуток, частка й ланцюгове правило; таблиця похідних з умовами та одиницями.
Похідна: швидкість зміни в один момент
Від середньої швидкості й січної до границі, миттєвої швидкості та дотичної.
Границя, неперервність і асимптота
Чому границя може існувати без значення в точці: послідовності, розриви та нескінченність.
Тригонометричні нерівності: коли сигнал вище порога
Дуги кола, інтервали часу, строгі межі й періодичне продовження; система та заміна.
Знайти кут: обернені функції й тригонометричні рівняння
Головний кут, усі періодичні розв’язки, межі часу, заміна й факторизація.
Тригонометричні формули: як пов’язані кути й хвилі
Виведення формул додавання поворотом координат, подвійний кут і перетворення хвиль.
Синусоїда: як описувати повторювану зміну
Період, амплітуда й фаза гармоніки та графіки sin, cos, tan, cot з розривами.
Від кута до числа: радіани й одиничне коло
Кут як поворот, радіан як дуга на радіус і чотири тригонометричні відношення.
Показникові й логарифмічні нерівності
Як основа визначає напрям порівняння, а область і спільні умови — остаточний інтервал.
Показникові й логарифмічні рівняння
Час до порога, заміна змінної, область логарифма й перевірка кандидатів.
Логарифм: який показник потрібен
Обернення степеня, властивості, зміна основи й читання логарифмічної шкали з додатними значеннями.
Експонента: однакова частка замість однакового приросту
Подвоєння, дійсний показник і число e: як читати показникову модель та її межі.
Геометрична прогресія та складні відсотки
Сталий множник, сума прогресії та повторні відсотки: як відрізнити зміну бази від сталого доданка.
Послідовність і арифметична прогресія
Як індекс задає член послідовності, чому у формулі стоїть n−1 та звідки береться сума прогресії: умовний план внесків на вісім тижнів.
Степеневі функції: чому масштаб змінює результат
Лінійний, квадратний і кубічний масштаб, графіки степенів та коренів, від’ємні й раціональні показники з чіткими областями визначення.
Як читати й перетворювати незнайомий графік
Зростання, парність, межі й перетворення, а також порядок композиції та умова існування оберненої функції: графік ресурсу й зворотне правило.
Парабола: як читати квадратну залежність
Вершина, нулі й перетворення параболи через площу прямокутника з фіксованим периметром: точні координати та межі моделі.
Обернена пропорційність: чому подвоєння дає половину
Сталий добуток, графік k/x та асимптоти: час виконання фіксованої роботи й прямокутники однакової площі без плутанини з оберненою функцією.
Лінійна функція: постійний тариф і стала швидкість зміни
Як прочитати коефіцієнти y = kx + b, порівняти два тарифи й знайти точку однакової ціни з правильними одиницями та областю моделі.
Функція: як пов’язані вхід і результат
Формула, таблиця й графік одного тарифу: аргумент, область визначення та область значень без плутанини між правилом і окремим обчисленням.
Модуль: відстань, допуск і розгалуження випадків
Чому допуск 50 ± 0,2 мм записують через модуль, як розкривати його за знаком і відрізняти внутрішній інтервал від зовнішніх променів.
Метод інтервалів: де вираз додатний або від’ємний
Нулі, полюси й кратність: як побудувати таблицю знаків, включити правильні межі та не втратити ізольований розв’язок.
Нерівності: описати всі допустимі значення
Як змінюється знак нерівності, що означають відкриті межі та чим перетин відрізняється від об’єднання: приклад бюджету й два прості доведення.
Дробові й ірраціональні рівняння: навіщо перевіряти відповідь
Знаменники, знак квадратного кореня й нелінійні системи: як відрізнити допустимий кандидат від справжнього розв’язку початкової задачі.
Як складніше рівняння звести до простішого
Заміна змінної, біквадратне рівняння, ділення многочленів і теорема Безу: як знизити степінь та повернути всі допустимі корені.
Квадратні рівняння: дискримінант і теорема Вієта
Виводимо формулу коренів через повний квадрат, знаходимо сторони ділянки та пов’язуємо дискримінант, графік і множники.
Два невідомих: коли потрібна система рівнянь
Відновлюємо ціни двох товарів за двома чеками: підстановка, додавання та графік пояснюють один, жоден або безліч розв’язків.
Як перетворити життєву задачу на рівняння
Спільна робота, рух і суміші: як обрати невідоме, узгодити одиниці, скласти рівняння та перевірити зміст відповіді.
Рівняння як баланс: знайти невідоме й не загубити розв’язки
Рахунок із невідомою ціною пояснює рівносильні переходи. Чому ділення на змінну втрачає корені, а квадрат може додавати сторонні.
Корені й дробові степені: як повернути множення назад
Як знайти сторону за площею та ребро за об’ємом, чому √(x²) дорівнює модулю й коли працюють правила дробових степенів.
Алгебраїчні дроби: чому скорочення не повертає заборонене число
Як скорочувати множники, знаходити спільний знаменник і зберігати допустимі значення: дріб із виколотою точкою після спрощення.
Розкладання на множники: побачити будову виразу
Спільний множник, групування й формули перетворюють суму на добуток. Як це допомагає знайти нулі та перевірити власний розклад.
Формули скороченого множення: звідки береться середній член
Квадрат суми й різниці, різниця квадратів та кубів через розподільний закон: чому 2ab не можна пропустити і як обчислити 99².
Як працюють одночлени й многочлени
Від чотирьох частин прямокутника до множення двочленів: коефіцієнт, степінь, подібні члени, додавання й віднімання многочленів.
Степені та науковий запис великих і малих чисел
Як читати цілі показники степеня, чому 10⁰ = 1 і 10⁻³ = 0,001, та як порівнювати великі числа, не плутаючи GB і GiB.
Навіщо замінювати числа літерами
Одна формула для різних покупок: змінна й параметр, підстановка, тотожність, розподільний закон та перевірка одиниць і допустимих значень.
Дроби, пропорції й відсотки без плутанини
Як перерахувати рецепт і чому знижки 20% та 10% дають разом 28%: дроби, пропорції, база порівняння й відсоткові пункти.
Які числа потрібні для вимірювань і розрахунків
Від цілих предметів до довжини √2: числові множини, раціональні й ірраціональні числа та різниця між точним значенням і округленням.