Дві хвилі одиничної амплітуди зі зсувом π/3 разом мають амплітуду √3, не 2. Формули додавання описують поворот і взаємне підсилення хвиль. Потрібні добутки, коло і синусоїда.

Одиничне коло має рівняння x²+y²=1; підставляємо координати cos/sin. Відбиття дає знаки від’ємного кута:

(sin⁡)^(2)x + (cos⁡)^(2)x = 1; sin⁡( − x) = − sin⁡x, cos⁡( − x) = cos⁡x.

Так само sin(π−x)=sin x, cos(π−x)=−cos x: у II чверті змінюється горизонтальна координата.

Геометричне виведення додавання

Повернімо перпендикулярні одиничні напрями на α. Їхні координати — (cosα,sinα) та (−sinα,cosα). Одиничний вектор (стрілка довжини 1) під додатковим кутом β має проєкції cosβ та sinβ на ці напрями. Складаючи горизонтальні й вертикальні внески, отримуємо:

cos⁡(α + β) = cos⁡αcos⁡β − sin⁡αsin⁡β.

sin⁡(α + β) = sin⁡αcos⁡β + cos⁡αsin⁡β.

Заміна β на −β дає формули різниці; β=α — подвійного кута:

sin⁡2x = 2sin⁡xcos⁡x; cos⁡2x = (cos⁡)^(2)x − (sin⁡)^(2)x.

Два послідовні повороти

x²+y²=1

-101-11αα+βxy

Сума зміщених хвиль

sin t + sin(t+π/3) = √3 sin(t+π/6)

0π/2π3π/22π-202t, rady
Повороти α=π/6 та β=π/4 дають α+β=5π/12. Нижче суцільна сума двох штрихових хвиль має амплітуду √3. Рівномірні шкали; коло має однакові масштаби; аргументи в радіанах.

Дві хвилі

Підставляючи α=t+π/6, β=π/6 у формули суми й різниці, маємо:

sin⁡t + sin⁡(t + π/3) = √(3)sin⁡(t + π/6).

Загалом сума sin t+sin(t+δ) дорівнює 2cos(δ/2)sin(t+δ/2); амплітуда — модуль коефіцієнта. δ=π дає повне взаємне погашення в цій ідеальній моделі. OpenStax

Відгалуження · ФормулиНеобов’язково · можна пропустити

Потрійний і половинний кут, суми та добутки

Наступні рівності отримують повторним додаванням або підстановкою півкута; це необов’язкове продовження основної лінії.

sin⁡3x = 3sin⁡x − 4(sin⁡)^(3)x; cos⁡3x = 4(cos⁡)^(3)x − 3cos⁡x.

(sin⁡)^(2)(x/2) = (1 − cos⁡x)/(2); (cos⁡)^(2)(x/2) = (1 + cos⁡x)/(2).

При добуванні кореня знак sin(x/2) чи cos(x/2) визначає чверть, не довільний вибір плюса.

sin⁡u + sin⁡v = 2sin⁡((u + v)/(2))cos⁡((u − v)/(2)); cos⁡u + cos⁡v = 2cos⁡((u + v)/(2))cos⁡((u − v)/(2)).

2sin⁡ucos⁡v = sin⁡(u + v) + sin⁡(u − v);

2cos⁡ucos⁡v = cos⁡(u + v) + cos⁡(u − v); 2sin⁡usin⁡v = cos⁡(u − v) − cos⁡(u + v).

Ділення формули sin(α+β) на cos(α+β) дає:

tan⁡(α + β) = (tan⁡α + tan⁡β)/(1 − tan⁡αtan⁡β).

Цей запис дозволений лише коли cosα, cosβ і cos(α+β) ненульові. Формули синуса й косинуса таких винятків не мають. Перед скороченням тригонометричного множника зберігайте його нульовий випадок, інакше можна втратити розв’язки.