На кресленні кругла кришка стала еліпсом, а прямокутна панель виглядає як паралелограм. Чи це помилка? Ні: рисунок може правильно передавати просторове розташування, не зберігаючи довжин і кутів. Розберімо, які висновки дозволяє проєкція і як із площі «вигляду згори» відновити площу похилої панелі.
Проєкція — правило для кожної точки
Передумови: площа многокутників, прямі й площини, просторові кути.
У паралельному проєціюванні вибираємо площину зображення та напрямок, не паралельний до неї. Через кожну точку предмета проводимо пряму цього напрямку; її перетин із площиною — зображення точки. Проєктувальні прямі паралельні одна одній. Якщо вони перпендикулярні до площини, маємо ортогональне проєціювання; інакше — косокутне паралельне.
Сонячна тінь на рівній поверхні приблизно нагадує паралельну проєкцію, але її напрямок зазвичай не перпендикулярний до поверхні. Тінь від близької лампи взагалі не є паралельною: промені розходяться. Аналогія не дає права застосовувати ортогональні формули до будь-якої тіні.
Що зберігається, а що деформується
За паралельної проєкції точки однієї прямої залишаються на одній прямій, якщо та не спрямована вздовж проєціювання: в останньому випадку вся пряма стискається в точку. Невироджені проєкції паралельних прямих паралельні або збігаються. Середина відрізка переходить у середину його проєкції; зберігаються відношення довжин відрізків на одній прямій або на паралельних прямих, якщо їхні проєкції не нульові.
Тому можна правильно зобразити медіану трикутника, просто сполучивши вершину із серединою зображення протилежної сторони. А ось висоту чи бісектрису не можна будувати лише «на око» як перпендикуляр або половину намальованого кута: кути й довжини загалом змінюються. Квадрат може стати паралелограмом, а рівні відрізки різних напрямків — нерівними.
Та сама панель: ортогональний вигляд згори
Косокутна паралельна проєкція
Коло → еліпс при φ=60°
В ортогональній проєкції на площину довжина відрізка L, що утворює з нею кут θ, стає L cos θ. Відрізок, паралельний площині, має θ=0° й зберігає довжину; перпендикуляр при θ=90° стискається в точку. Це не формула для довільної косокутної проєкції.
Площа похилої панелі
Задамо прямокутну панель 4×3 м: одна сторона довжини 4 м горизонтальна, друга нахилена до горизонталі на 60°. У вигляді згори перша сторона лишається 4 м, друга стає 3 cos 60°=1,5 м. Площа панелі 12 м², площа проєкції 6 м².
Загалом для плоского многокутника:
S_(proj) = S ∣cosφ∣.
Тут φ — кут між площиною фігури та площиною ортогональної проєкції. Якщо беремо менший кут 0°≤φ≤90°, модуль зайвий, але робить запис придатним і для кута між обраними нормалями. Для довільної нерівної поверхні одна така φ не визначена; не множимо всю її площу на один косинус.
Чому один косинус, а не квадрат? Уздовж лінії перетину площин масштаб 1; у перпендикулярному до неї напрямку — |cos φ|. Для трикутника можна зберегти основу й скоротити висоту цим множником; многокутник розбивається на трикутники. При φ=90° проєкція лежить на прямій і її площа 0. Обернений розрахунок S=Sproj/|cos φ| дозволений лише при ненульовому косинусі.
Чому круг стає еліпсом
Коло радіуса r у площині, нахиленій на φ, у невиродженій ортогональній проєкції має півосі r та r|cos φ|. Один напрямок не скорочується, другий скорочується косинусом. При φ=0° це знову коло; при φ=90° — відрізок, а не еліпс із додатною площею. Радіус 2 см і φ=60° дають півосі 2 та 1 см. «Радіус еліпса» як одне число тут не підходить.
Необов’язкове поглибленняОсновні формули вище стосуються паралельної та ортогональної проєкцій.
Відгалуження · Перспектива камери
У центральному проєціюванні прямі проходять через один центр O. Для ідеальної камери з центром у початку координат і умовним екраном z=f>0 подібні трикутники дають x′=fx/z, y′=fy/z для точок перед камерою z>0. Тут x,y — поперечні координати, z — глибина, f — відстань до умовного екрана. Повна просторова система координат — тема G029; тут важливе саме ділення на глибину.
Однакова довжина на глибині 4 має вдвічі менший вигляд, ніж на глибині 2. Паралельні лінії з напрямком не паралельним екрану можуть сходитися в точці сходу. Паралельні екрану — лишаються паралельними. Середини й відношення на похилій у глибину прямій загалом не зберігаються. Тому фотографія без відомої геометрії та калібрування не замінює креслення. Це ідеальна геометрична модель, без дисторсії об’єктива.
Для читання рисунка запитайте: який тип проєкції, що саме збережено, де масштаб справжній? Ці три запитання допомагають відрізнити коректне зображення від необґрунтованого вимірювання пікселів.
Джерела й межі
Шкільна основа: Істер, геометрія 10 клас, §6 та §12. Додатково авторський навчальний розділ George Mason University, с. 28 пояснює ортогональну проєкцію й один косинус у площі; Scratchapixel, модель pinhole camera пояснює спільний центр проєкції. Приклади панелі та кола власні; це не вимірювання сонячного освітлення чи специфікація камери.