Уявімо вісім щотижневих внесків: спершу 50 грн, потім щоразу на 10 грн більше. Скільки становитиме восьмий внесок і скільки буде внесено загалом? Це два різні запитання: про окремий член послідовності та про суму її членів.
Потрібні степені й повторювані дії та функції. Це умовна арифметична модель, без відсотків, комісій і зняття коштів; правило задане на вісім тижнів.
Номер — вхід, член — вихід
Числова послідовність — функція, входами якої є натуральні номери або початковий скінченний набір таких номерів. Тут починаємо з 1: a_(1) = 50, a_(2) = 60, a_(3) = 70. Індекс унизу вказує номер, а не множення. Порядок важливий; повторювані значення теж дозволені.
Наша область — n ∈ {1,2,…,8}. Члена з номером 2,5 немає: послідовність задає окремі тижні, а не будь-яку дійсну тривалість. Тому її графік — точки (n,a_(n)), без обов’язкового з’єднання відрізками.
Стала різниця визначає прогресію
Арифметична прогресія — послідовність зі сталою різницею сусідніх членів: a_(n + 1) − a_(n) = d. У нашому прикладі d = 10. Рекурентне задання описує перший член і крок:
a_(1) = 50, a_(n + 1) = a_(n) + 10.
Крок застосовуємо для n = 1,…,7. Без початкового значення правило «додай 10» не визначає саму послідовність: почати можна і з 5, і з 500. Різниця може бути від’ємною або нульовою; відповідно прогресія спадає або стала. Означення й рекурсія, OpenStax §13.2.
Чому саме n−1
Від першого члена до другого один крок, до третього два, до n-го — n − 1. Отже явна формула:
a_(n) = a_(1) + (n − 1)d.
Вона відразу дає будь-який дозволений член. a_(8) = 50 + 7 ⋅ 10 = 120 грн. Запис 50 + 8 ⋅ 10 помилково додає вісім кроків і дає вже дев’ятий член продовженого правила. Якщо нумерація починається з 0, формула змінюється на a_(n) = a_(0) + nd: спершу завжди перевіряйте початок індексу.
Внески за окремими тижнями
| Пара з країв | Сума |
|---|---|
| 50 + 120 | 170 |
| 60 + 110 | 170 |
| 70 + 100 | 170 |
| 80 + 90 | 170 |
4 × 170 = 680
Точки лежать на прямій a_(n) = 10n + 40, але дозволені лише цілі номери. А кілька початкових значень самі не доводять прогресію: після 50,60,70 могло б бути й 100. Сталу різницю потрібно задати правилом або довести для довільного допустимого номера.
Сума через прямий і зворотний порядок
Нехай S_(n) = a_(1) + a_(2) + ⋯ + a_(n). Запишемо ту саму суму в зворотному порядку: S_(n) = a_(n) + a_(n − 1) + ⋯ + a_(1). Додаючи відповідні місця двох записів, щоразу отримуємо a_(1) + a_(n), бо
a_(j) + a_(n + 1 − j) = 2a_(1) + (n − 1)d.
Таких доданків n, отже 2S_(n) = n(a_(1) + a_(n)) і
S_(n) = (n(a_(1) + a_(n)))/(2) = (n)/(2)(2a_(1) + (n − 1)d).
Це виведення працює і для непарного n: ми складаємо два повні записи, а не намагаємося розбити одну суму на цілу кількість пар. Арифметичні суми, OpenStax §13.4.
Для восьми тижнів S_(8) = 8(50 + 120)/2 = 680 грн. На схемі пари з країв дають 170: 50+120, 60+110, 70+100, 80+90; чотири пари дають 680. Пряме додавання всіх восьми внесків підтверджує результат.
Внесок і накопичення мають різні закони
Третій внесок a_(3) = 70, а сума до третього тижня S_(3) = 50 + 60 + 70 = 180. Для нашого правила S_(n) = 5(n)^(2) + 45n: накопичення вже квадратичне за номером, хоча самі внески утворюють арифметичну прогресію. Загалом S_(n) − S_(n − 1) = a_(n), а не d.
Спочатку визначте, що саме пронумеровано й чи шукаєте один член або суму. Тоді n − 1 стає кількістю кроків, а формула суми — наслідком симетрії доданків, який легко відновити.