Координати: від креслення до рівняння

На плані відомі координати двох крайніх точок кругової ділянки. Чи можна знайти центр і перевірити, чи нова позначка лежить на межі, не вимірюючи лінійкою екран? Для цього геометричні умови перекладаємо мовою рівнянь.

Координати задають положення; рівняння фігури відбирає всі й лише ті точки, що їй належать. Відстань спирається на Піфагора, коло — на сталу відстань до центра, пряма — на лінійне співвідношення. Використовуємо G014, G019 і лінійну функцію.

Спочатку домовляємося про осі

Вибираємо початок O, взаємно перпендикулярні осі x,y, додатні напрями та одиницю довжини. У парі (x;y) перше число — горизонтальна, друге — вертикальна координата в такому кресленні. Це не довжини від початку: вони можуть бути від’ємними. Точки на осі x мають y=0, на осі y — x=0; самі осі не належать жодній із чотирьох відкритих чвертей.

Для звичайної формули відстані обидві координати мають одну фізичну одиницю довжини. Щоб правильно бачити геометрію, малюємо одиничні відрізки осей в однаковому масштабі. Якщо графік розтягнули по горизонталі, коло може виглядати овальним. Його рівняння не змінилося; спотворилося зображення. На графіку «час–вартість» узагалі не можна читати евклідові метри між точками без окремої моделі.

Відстань — гіпотенуза

Для A(x₁;y₁),B(x₂;y₂) прямокутний трикутник має катети |x₂−x₁| та |y₂−y₁|. За Піфагором:

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Квадрати вже усувають знаки різниць. Якщо координати однієї осі збігаються, один катет нульовий і формула дає довжину вздовж іншої осі. Якщо A=B, відстань 0. OpenStax, відстань і середина.

Візьмемо власні точки A(−2;−5),B(4;3), координати в метрах. Різниці 6 і 8 дають AB=√(36+64)=10 м. Це відстань по прямій; рух лише вздовж координатних напрямів мав би довжину 6+8=14 м.

Відстань і середина

Коло та перевірка точок

Вертикальна пряма

Координати в метрах, на обох осях однаковий масштаб. A(−2;−5), B(4;3), Q(1;−1). У першій панелі горизонтальна зміна 6, вертикальна 8, AB=10; Q ділить AB навпіл. У другій — коло з центром Q та радіусом 5; B на колі, P(5;3) поза, T(3;1) всередині. Суцільна похила лінія — видима частина 4x−3y−7=0. У третій x=1: усі точки мають однаковий x, Δx=0. Позначки на осях — координати, не порядкові номери.

Середина: усереднюємо кожну координату

Середня точка має пройти половину горизонтальної та половину вертикальної зміни. Її координати:

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).$

Для наших A,B виходить Q(1;−1). Від A до Q зміни3 і4, від Q до B також3 і4, отже AQ=QB=5. Не усереднюємо всі чотири числа разом: x і y описують різні напрями.

Коло — умова сталої відстані

Нехай AB — діаметр. Центр Q(1;−1), радіус r=5. Точка X(x;y) лежить на колі тоді й лише тоді, коли QX=5. Після піднесення до квадрата:

$(x-1)^2+(y+1)^2=25.$

У загальному вигляді для центра Q(a;b) та r>0 це (x−a)²+(y−b)²=r². Знак у дужках протилежний координаті центра: y+1 означає y−(−1). Права частина — квадрат радіуса, а не сам радіус. UC Davis, прямокутні координати.

Підстановка B(4;3) дає 9+16=25: точка на межі. Для P(5;3) маємо 16+16=32>25 — поза кругом. Для T(3;1) маємо 4+4=8<25 — усередині. Нерівність ≤25 задає круг, рівність 25 — коло. Один запис y(x) не описує повне коло: для багатьох x є два y.

Пряма та її нахил

Якщо x₂≠x₁, кутовий коефіцієнт k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁). Для AB він 8/6=4/3. Рівняння через A:

$y+5=\frac43(x+2),\qquad 4x-3y-7=0.$

Обидві форми задають ту саму пряму; підстановка A,B перевіряє числа. За однакових одиниць і масштабів k — тангенс кута нахилу до додатного напряму x, якщо пряма не вертикальна. Для спадної прямої k від’ємний, для горизонтальної — 0. OpenStax, нахил.

Вертикальна пряма x=1 має Δx=0: ділити на нуль не можна. Її k не визначений, а не дорівнює якомусь нескінченному дійсному числу. Вона все одно пряма. Загальне рівняння ax+by+c=0 охоплює її, якщо хоча б один із a,b не нуль. Якщо a=b=0, отримуємо всю площину при c=0 або жодної точки при c≠0 — не пряму.

Координатний методНеобов’язково · можна пропустити

Рівні відстані дають серединний перпендикуляр

Точки, рівновіддалені від A й B, задовольняють (x+2)²+(y+5)²=(x−4)²+(y−3)². Після розкриття квадратів квадратичні доданки зникають: 12x+16y+4=0, або 3x+4y+1=0. Це серединний перпендикуляр до AB, як у G009. Він проходить через Q(1;−1); його нахил −3/4 узгоджується з перпендикулярністю до прямої нахилу 4/3.

Координатний розв’язок завершуємо поверненням до фігури: які точки відібрало рівняння, які одиниці використано й чи не загублено вертикальний випадок. Так перевірка чисел стає перевіркою геометричної умови.