Кімната прямокутна: одна сторона 4,2 м, друга 5,6 м. Найкоротший шлях між протилежними кутами проходить по діагоналі, а не вздовж двох стін. Його довжину можна обчислити без вимірювання навскіс.
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: a²+b²=c². Обернено, така рівність для сторін трикутника гарантує прямий кут навпроти c. Тут a,b — сторони, що утворюють прямий кут, а c — сторона навпроти нього, найбільша. Для пояснення потрібні подібні трикутники й операції з квадратними коренями.
Квадрати довжин мають геометричний зміст
Площа квадрата зі стороною a дорівнює a². Уявімо великий квадрат зі стороною a+b та чотири однакові прямокутні трикутники з катетами a,b. У кожного площа ab/2 — половина відповідного прямокутника.
На першій схемі чотири трикутники лишають усередині квадрат зі стороною c. Його кути прямі: два гострі кути початкового трикутника разом дають 90°. На другій ті самі чотири трикутники перекладено так, щоб лишилися два квадрати зі сторонами a й b. Великий квадрат і забрана площа однакові, отже залишки теж рівні:
(c)^(2) = (a + b)^(2) − 4(ab)/(2) = (a)^(2) + (b)^(2).
Чотири трикутники, залишок c²
Ті самі трикутники, залишок a² + b²
Проєкції та середнє геометричне
Схема показує конкретні a=3,b=4, але аргумент працює для будь-яких додатних a,b: потрібні лише чотири рівні прямокутні трикутники. AMSI, доказ розрізанням, Евклід I.47.
Як знайти довжину, а не її квадрат
Для кімнати діагональ є гіпотенузою:
d = √((4,2)^(2) + (5,6)^(2)) = √(49) = 7 м.
Беремо додатний корінь, бо довжина додатна. Квадрат 49 має одиницю м², а після кореня повертаються метри. Якщо відомі гіпотенуза c та катет b, то другий катет a=√(c²−b²); для невиродженого трикутника потрібно c>b>0.
Не можна замінювати √(a²+b²) на a+b. У прикладі шлях уздовж стін становить 9,8 м, а діагональ — 7 м. І не можна застосовувати рівність лише тому, що трикутник на рисунку виглядає майже прямокутним: для рівностороннього зі стороною 2 отримали б хибне 4=4+4.
Перевірка прямого кута: обернена теорема
Якщо сторони наявного трикутника задовольняють a²+b²=c², кут навпроти c прямий. Побудуємо окремий прямокутний трикутник із катетами a,b. За вже доведеною теоремою його гіпотенуза має довжину c. Він рівний даному за SSS, тож відповідний кут теж 90°. Це окремий доказ оберненого твердження. Евклід I.48.
Для реального кута можна порівняти три виміряні довжини з цією рівністю, проте точність висновку обмежена похибками вимірів. Ідеальний критерій сам собою не задає будівельного допуску.
Висота створює ще два подібні трикутники
Нехай ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a. Опустимо CH=h на гіпотенузу; AH=p, HB=q, тому p+q=c. Відрізки p й q — ортогональні проєкції відповідних катетів на AB, а не самі катети.
За AA трикутники ABC, ACH і CBH подібні. З відповідних відношень отримуємо:
(c)/(b) = (b)/(p), (c)/(a) = (a)/(q), (p)/(h) = (h)/(q).
Отже:
(b)^(2) = cp, (a)^(2) = cq, (h)^(2) = pq.
Додавши перші дві рівності, знову дістаємо a²+b²=c(p+q)=c² — інший доказ теореми через подібність. Евклід VI.8.
У схемі a=3,b=4,c=5. Тому p=16/5=3,2, q=9/5=1,8, h=√(3,2·1,8)=2,4. Катету 4 відповідає проєкція 3,2, а не 1,8: порядок позначень важливий.
Середнє геометричне можна побудувати
Із h²=pq випливає h=√(pq), середнє геометричне додатних p та q. Щоб його побудувати, відкладаємо A,H,B на одній прямій з AH=p і HB=q, малюємо півколо з діаметром AB і відновлюємо перпендикуляр із H до перетину C з півколом. Кут ACB прямий за властивістю діаметра, тому CH має потрібну довжину.
Для p=q це p; для різних p,q не слід плутати √(pq) із середнім арифметичним (p+q)/2. У нашому прикладі вони дорівнюють 2,4 та 2,5 відповідно.