Чому (a + b)^(2) не дорівнює (a)^(2) + (b)^(2)? Якщо збільшити обидві сторони квадратної плитки, додадуться дві смуги, а не лише кутовий квадрат. Саме вони дають середній член 2ab. Цю будову можна побачити, а потім відновити без малюнка за правилом множення многочленів.
Квадрат суми має чотири частини
Візьмемо квадрат зі стороною a + b, де a > 0 і b > 0. Розріз уздовж кожної сторони відокремлює квадрат (a)^(2), дві смуги ab і маленький квадрат (b)^(2). Додати лише два квадрати означало б залишити смуги непорахованими.
Алгебра повторює цю побудову:
(a + b)^(2) = (a + b)(a + b) = (a)^(2) + ab + ba + (b)^(2) = (a)^(2) + 2ab + (b)^(2).
На рисунку a = 3, b = 2: 9 + 6 + 6 + 4 = 25, як і (5)^(2). Розподільний закон доводить тотожність для будь-яких дійсних a,b; модель звичайних площ потребує додатних довжин. Виведення квадратів у OpenStax, §1.4.
Квадрат різниці: знак середнього члена
Замінимо b на − b у вже виведеній формулі. Квадрат ( − b)^(2) = (b)^(2), а змішаний добуток змінює знак:
(a − b)^(2) = (a)^(2) − 2ab + (b)^(2).
Тепер (99)^(2) = (100 − 1)^(2) = 10000 − 200 + 1 = 9801. Якщо відняти лише (1)^(2), вийде 9999 — це обчислення іншого виразу, (100)^(2) − (1)^(2).
Буква може означати цілий вираз: (2x − 3)^(2) = 4(x)^(2) − 12x + 9. Квадрат першого члена тут (2x)^(2), а середній — − 2 ⋅ 2x ⋅ 3. Дужки захищають і коефіцієнт, і знак від випадкової втрати.
Різниця квадратів: змішані члени зникають
Коли один двочлен має плюс, а другий мінус, два змішані внески протилежні:
(a + b)(a − b) = (a)^(2) − ab + ab − (b)^(2) = (a)^(2) − (b)^(2).
Це різниця квадратів, а не квадрат різниці. Наприклад, 103 ⋅ 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991. Формулу можна читати й справа наліво: (x)^(2) − 25 = (x − 5)(x + 5). Такий запис відкриває множники, приховані в сумі.
Куби: як перевірити знаки
Щоб отримати різницю кубів, помножимо (a − b) на (a)^(2) + ab + (b)^(2). Виникнуть шість членів: (a)^(3) + (a)^(2)b + a(b)^(2) − (a)^(2)b − a(b)^(2) − (b)^(3). Чотири середні скорочуються. Тому:
(a)^(3) − (b)^(3) = (a − b)((a)^(2) + ab + (b)^(2)).
Заміна b на − b дає суму кубів:
(a)^(3) + (b)^(3) = (a + b)((a)^(2) − ab + (b)^(2)).
Наприклад, (x)^(3) − 8 = (x − 2)((x)^(2) + 2x + 4), а (x)^(3) + 8 = (x + 2)((x)^(2) − 2x + 4). Знак біля ab потрібний саме для взаємного знищення середніх членів. Обидві формули кубів, OpenStax §1.5.
Відгалуження · Ще один крокДодаткове множення; п’ять основних тотожностей уже виведено.
Куб двочлена
Домножимо квадрат суми на a + b. Член (a)^(2)b виникне один раз від (a)^(2) ⋅ b і двічі від 2ab ⋅ a; разом 3(a)^(2)b. Так само збирається 3a(b)^(2):
(a + b)^(3) = (a)^(3) + 3(a)^(2)b + 3a(b)^(2) + (b)^(3).
Підставивши − b, одержимо (a − b)^(3) = (a)^(3) − 3(a)^(2)b + 3a(b)^(2) − (b)^(3). Це не те саме, що (a)^(3) − (b)^(3): між крайніми кубами є ще два внески.
Скорочене множення економить запис, бо ми вже порахували всі пари членів. Якщо формула забулася, розкриття дужок повертає її; якщо є сумнів у знаку, мала числова підстановка швидко виявить помилку, хоча й не замінить доведення.