Оренда обладнання має умовну плату 40 грн за оформлення та 30 грн за годину. За дві години виходить 100 грн. Як одним записом відповісти не лише на це запитання, а й на всі інші дозволені тривалості? Функція задає кожному дозволеному входу рівно один результат.
Достатньо змінних і виразів. Наш тариф вигаданий: дозволені будь-які дійсні тривалості від 0 до 4 год включно, дробову годину оплачують пропорційно, інших платежів немає.
Правило разом з областю
Нехай t — числове значення тривалості в годинах, C(t) — вартості в гривнях. Тоді
C(t) = 40 + 30t, 0 ≤ t ≤ 4.
t — аргумент, або вхід. C — ім’я функції, C(t) — її значення на вході t, а не множення C на t. Наприклад, C(2) = 40 + 30 ⋅ 2 = 100. Нульова тривалість тут означає оформлену оренду без використання: фіксована плата зберігається.
Область визначення — усі дозволені входи: [0,4]. Область значень — усі результати, які правило справді дає на цих входах: [40,160]. Це не просто список кількох порахованих цін. Будь-яка ціна між 40 та 160 досягається при t = (C − 40)/30, що лежить між 0 і 4. Означення функції, OpenStax §3.1.
Три записи тієї самої залежності
Формула дозволяє обчислити будь-який допустимий вхід. Таблиця зручно показує вибрані пари. Графік розташовує їх у площині: перша координата йде по горизонтальній осі, друга — по вертикальній.
Таблиця й графік C(t)=40+30t
| t, год | C, грн |
|---|---|
| 0 | 40 |
| 1 | 70 |
| 2 | 100 |
| 4 | 160 |
Точка (2,100) означає «дві години, сто гривень». Вона не означає дві гривні чи сто годин. На горизонтальній осі крок 1 год, на вертикальній — 40 грн: однакова довжина на екрані не робить різні одиниці однаковими.
Суцільний відрізок виправданий умовою моделі про довільну дійсну тривалість і заданою формулою. Сама таблиця з чотирьох рядків не визначає значень між ними. Якщо сервіс бере плату лише за цілі розпочаті години, буде інше правило, інша область або ступінчастий графік.
Єдиний результат не означає різні результати
Для одного й того самого дозволеного t = 2 наш тариф не може одночасно дати 100 і 120 грн. Така відповідність не була б функцією тривалості: бракує додаткового входу, наприклад категорії обладнання. Натомість різним входам дозволено мати однаковий вихід. При фіксованій платі F(t) = 40 будь-які дозволені тривалості мають спільну вартість 40.
Геометрично це дає вертикальний тест: вертикальна пряма при фіксованому t може перетнути графік функції щонайбільше один раз. Поза областю визначення перетину взагалі не буде. Горизонтальна пряма може перетинати його багато разів — це не порушення.
Формула не скасовує змісту
Підстановка t = − 1 у вираз 40 + 30t арифметично можлива, але від’ємна тривалість не належить нашій функції. Так само t = 6 виходить за погоджені 4 години. Формула на ширшій області задавала б іншу функцію й не гарантувала б реальної ціни. Області визначення й значень, OpenStax §3.2.
Коли бачите незнайому залежність, спершу знайдіть вхід, його одиниці та дозволену область; потім правило й досягнуті результати. Тоді таблиця, формула та графік стають трьома способами читати одну історію.