Додаткова тема курсу. Потрібні квадратні корені, одиничне коло та формули додавання кутів. Геометричні поняття пояснено тут; окремий курс геометрії не потрібний.
На дійсній прямій x²+1=0 розв’язків не має. Комплексні числа розширюють дійсні: додаємо одиницю i з властивістю i²=−1 і записуємо числа як a+bi. Тоді і i, і −i задовольняють це рівняння.
i^2=-1,\qquad z=a+bi\quad(a,b\in\mathbb R).
Дійсна частина — a, уявна частина — дійсний коефіцієнт b, не весь доданок bi. Числа рівні, коли збігаються обидві частини. При b=0 отримуємо звичайне дійсне число. Слово «уявний» є назвою, а не оцінкою реальності об’єкта.
Арифметика з одним новим правилом
Додаємо координати; при множенні розкриваємо дужки й замінюємо i² на −1:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Наприклад, (1+2i)+(3−i)=4+i, а (1+2i)(3−i)=5+5i. Віднімання теж покоординатне. Степені i повторюються: i,−1,−i,1, далі знову i. OpenStax
Спряжене до a+bi — a−bi. Їхній добуток a²+b² дійсний і додатний, якщо число ненульове. Щоб поділити, множимо чисельник і знаменник на спряжене знаменника:
(1 + 2i)/(1 − i) = ((1 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)) = ( − 1 + 3i)/(2).
Ділити на 0 не можна; для c+di≠0 знаменник c²+d² строго додатний. Перевірка: ((−1+3i)/2)(1−i)=1+2i.
Площина, довжина й кут
Число a+bi зображаємо точкою (a,b). Горизонтальна вісь — дійсна, вертикальна — уявна. Модуль — відстань від початку до точки: квадрат цієї довжини дорівнює сумі квадратів взаємно перпендикулярних координатних відрізків.
Для ненульового z напрям від додатної дійсної осі задає аргумент φ, у радіанах. Кути φ+2πk, k ціле, задають той самий напрям. У нуля модуль 0, але аргумент не визначений.
∣z∣ = √((a)^(2) + (b)^(2)), z = r(cosφ + isinφ), r = ∣z∣ > 0.
Це тригонометрична форма. a=r cos φ, b=r sin φ, тому коефіцієнти повертають вихідне число. Модуль і тригонометрична форма.
Множення змінює масштаб і напрям
Для двох ненульових чисел формули додавання синуса й косинуса дають:
z_(1)z_(2) = r_(1)r_(2)[cos(φ_(1) + φ_(2)) + isin(φ_(1) + φ_(2))].
Модулі перемножуються, аргументи додаються з точністю до повного оберту. Отже, множення на i, у якого модуль 1 і аргумент π/2, повертає точку на чверть оберту проти годинникової стрілки без зміни відстані:
i(1 + 2i) = − 2 + i, ∣1 + 2i∣ = ∣ − 2 + i∣ = √(5).
Множення на i
z=1+2i → iz=−2+i
Множення на 2i дало б такий самий поворот і вдвічі більшу відстань. Множення на нуль стискає все до початку, де напрям уже не визначений. Комплексна арифметика поєднує обчислення координат із діями над довжиною та кутом; дійсна пряма лишається всередині цієї площини.
Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити
Степінь і всі комплексні корені
Повторне множення дає формулу Муавра для додатного цілого n:
(z)^(n) = (r)^(n)[cos(nφ) + isin(nφ)] (n = 1,2,3,…).
Обернена задача wⁿ=z для ненульового z має n різних комплексних коренів:
w_(k) = (r)^(1/(n))[cos((φ + 2πk)/(n)) + isin((φ + 2πk)/(n))], k = 0,…,n − 1.
Тут n≥1 ціле, r>0, а корінь із r — додатний дійсний. Повні оберти до ділення кута породжують різні напрями. Для z=1 і n=3 це 1 та −1/2±i√3/2; кожне в кубі дає 1. Для z=0 є лише w=0. Звичний єдиний дійсний кубічний корінь та всі комплексні корені — різні домовленості. Степені й корені, OpenStax §10.5.