Ви пройшли два відрізки маршруту. Довжина шляху — сума довжин, але від початку до кінця можна опинитися ближче. Який запис одночасно зберігає відстань і напрям кожного кроку?
Вектор описує напрямлену зміну положення. Вектори додаються за координатами; модуль суми дає відстань між початком і кінцем, а не довжину пройденої ламаної. Скалярний добуток повертає число, що пов’язує довжини з кутом. Використовуємо координати та синус і косинус.
Точка, стрілка й довжина
Точка A(x;y) — положення. Напрямлений відрізок AB зображає вектор від A до B. Позначимо цей вектор u. Його координати — різниці «кінець мінус початок»:
u = (x_(B) − x_(A); y_(B) − y_(A)).
Розглядаємо вільні вектори: стрілки однакової довжини й напряму рівні, навіть якщо починаються в різних точках. Переносимо їх паралельно, не повертаючи. Однакова довжина без однакового напряму не дає рівності векторів. OpenStax, означення та координати.
Для u=(uₓ;uᵧ) модуль |u|=√(uₓ²+uᵧ²) — невід’ємне число, а не вектор. Нульовий вектор 0=(0;0) має модуль 0 і не має визначеного напряму. Наприклад, точки (1;2) і (5;3) дають вектор (4;1); число √17 — його довжина.
Два переміщення: чому працює паралелограм
Наш приклад у метрах: u=(4;1),v=(−1;3). Перший крок — на 4 праворуч і 1 вгору, другий — на 1 ліворуч і 3 вгору. Підсумок:
u + v = (4 − 1; 1 + 3) = (3;4), ∣u + v∣ = 5.
За правилом трикутника ставимо початок v у кінець u. Сума йде від початку першої стрілки до кінця другої. Якщо відкласти обидва вектори від спільного початку, для неколінеарних векторів діагональ побудованого паралелограма дає ту саму суму. Порядок додавання не змінює підсумок: u+v=v+u.
Сума: трикутник і паралелограм
Різниця від кінця v до кінця u
Проєкція b на a
Пройдений шлях √17+√10≈7,285 м, підсумкове переміщення має модуль 5 м. Це різні питання, тому різні числа не суперечать одне одному. Для колінеарних кроків правило трикутника теж працює, хоча паралелограм вироджується.
Різниця та множення на число
Відняти v означає додати протилежний −v: u−v=(4−(−1);1−3)=(5;−2). Якщо u,v мають спільний початок, стрілка від кінця v до кінця u зображає u−v. Зворотна стрілка — v−u.
Для числа λ маємо λu=(λuₓ;λuᵧ), а |λu|=|λ|·|u|. При λ>0 ненульовий вектор зберігає напрям, при λ<0 — змінює на протилежний. При λ=0 отримуємо нульовий вектор, тож напряму вже немає. Зокрема −2u=(−8;−2), удвічі довший за u і спрямований навпаки.
Два ненульові вектори колінеарні, якщо один є числовим кратним іншого. Наприклад, (4;1) і (−8;−2). Без ділення на потенційний нуль це перевіряє uₓvᵧ−uᵧvₓ=0. Нульовий вектор за домовленістю вважаємо колінеарним кожному; це не наділяє його напрямом.
Скалярний добуток: число замість стрілки
В ортонормованих координатах означимо:
u ⋅ v = u_(x)v_(x) + u_(y)v_(y) = ∣u∣ ∣v∣cosφ.
Остання рівність пов’язує координати з кутом φ між ненульовими векторами, від 0° до 180°. Для нашої пари u·v=4·(−1)+1·3=−1. Отже, cosφ=−1/√170,φ≈94,40°: кут трохи тупий. Додатний добуток означає 0°≤φ<90°, від’ємний — 90°<φ≤180°; для ненульових векторів нульовий добуток означає перпендикулярність.
Добуток u·u=|u|² невід’ємний, але u·v загалом може бути від’ємним. Слово «скалярний» важливе: це число, на відміну від λu чи u+v. Paul Dawkins, скалярний добуток.
Проєкція: скільки спрямовано вздовж a
Візьмемо іншу пару a=(4;0),b=(2;3). Опустимо з кінця b перпендикуляр на пряму вздовж a. Знакова скалярна проєкція b на напрям a дорівнює b·a/|a|=8/4=2. Векторна проєкція — (b·a/|a|²)a=(2;0). Перша є числом, друга — вектором.
Для a≠0 ці формули працюють і за тупого кута: скалярна проєкція від’ємна, а векторна спрямована проти a. При перпендикулярності обидві нульові. На нульовий вектор проєктувати так не можна — знаменник 0, напрям не визначений.
Зв’язок із попереднімНеобов’язково · можна пропустити
Чому в скалярному добутку з’являється косинус
Відкладімо u,v від спільного початку. За теоремою косинусів, |u−v|²=|u|²+|v|²−2|u||v|cosφ. Розкривши ту саму ліву частину за координатами, отримуємо |u|²+|v|²−2(uₓvₓ+uᵧvᵧ). Порівняння дає потрібну рівність. Для колінеарних ненульових векторів та сама рівність перевіряється прямо при φ=0° або 180°. Для нульового вектора координатний добуток існує й дорівнює 0, але кут не вводимо.
Перш ніж рахувати, називаємо об’єкт: точка, переміщення, довжина чи проєкція. Тоді тип відповіді — пара координат або одне число — стає частиною перевірки.