Рухи площини: як змінити положення, зберігши форму

Копію елемента орнаменту треба поставити в інше місце. Зсунути, повернути чи віддзеркалити — різні дії, хоча розміри можуть лишитися тими самими. Як описати потрібну дію так, щоб креслення відтворилося однозначно?

Рух площини, або ізометрія, зберігає відстань між будь-якими двома точками. Відбиття, поворот і паралельне перенесення дають рівні оригіналу фігури, але можуть змінити їхнє положення та орієнтацію. Порядок кількох рухів загалом має значення. Потрібні рівність трикутників, координати та вектори.

Що саме зберігається

Перетворення ставить кожній точці X у відповідність образ F(X). Розглянуті рухи взаємно однозначно відображають всю площину на себе: у кожного образу один прообраз. Умова руху — F(X)F(Y)=XY для кожної пари X,Y. Зберегти одну довжину або одну площу недостатньо.

Звідси зберігаються довжини відрізків, розташування точок між іншими, величини кутів і перпендикулярність. Наприклад, три точки трикутника після руху мають ті самі три сторони; за SSS рівні й відповідні кути. Для многокутників зберігаються периметр і площа. Проте координати окремих точок можуть змінитися. AMSI, рівність фігур через рухи.

Осьове відбиття

Для відбиття відносно прямої l відрізок XX′ перпендикулярний l, а його середина лежить на l. Точки самої осі лишаються на місці. Відносно осі y формула (x;y)→(−x;y); відносно x — (x;y)→(x;−y).

Відбити можна будь-яку фігуру: наявність у неї осі симетрії не є передумовою. Вісь симетрії фігури — та пряма, відбиття відносно якої переводить фігуру в себе. Наш різносторонній трикутник такої осі не має. Дзеркальний примірник змінює орієнтацію обходу позначених вершин; лише зсувами й поворотами в площині його з оригіналом не сумістити.

Відбиття відносно y

Центральна симетрія

Поворот +90°

Перенесення (3;0)

У всіх панелях пунктир — той самий оригінал A(1;1),B(4;1),C(2;3); помаранчевий контур — його образ. Осі та одиничний масштаб фіксовані, кожен трикутник має сторони 3,√8,√5 й площу 3. Позначено A і A′; при перенесенні A′ збігається з початковою B. Відбиття міняє орієнтацію, інші три рухи її зберігають. Центр двох середніх рухів — O(0;0). Формули під панелями задають образ кожної точки, а не лише вершини A.

Центральна симетрія — півоберту

Відносно центра O кожна X переходить у X′ так, що O — середина XX′. Сам O не рухається. При O(0;0) маємо (x;y)→(−x;−y); при O(a;b) — (x;y)→(2a−x;2b−y).

Це поворот на 180°, а не осьове відбиття. Він зберігає орієнтацію обходу трикутника. Фігура має центр симетрії лише тоді, коли цей рух переводить її в себе: паралелограм має такий центр у перетині діагоналей, наш трикутник — ні.

Поворот: центр, кут і напрям

Задаємо центр O та напрямлений кут α. Відстань OX зберігається, промінь OX повертається на α. У наших координатах додатний напрям — проти годинникової стрілки. Поворот на 90° навколо початку задає (x;y)→(−y;x). За годинником на 90° було б (x;y)→(y;−x).

Для трикутника A(1;1),B(4;1),C(2;3) додатний поворот 90° дає A′(−1;1),B′(−1;4),C′(−3;2). Боки не змінилися; це активний поворот фігури при нерухомих осях, не зміна системи координат. Поворот на 360° повертає кожну точку на місце. AMSI, побудова рухів.

Паралельне перенесення: одна зміна для всіх

Для вектора t=(p;q) кожну точку переносимо за тією самою формулою (x;y)→(x+p;y+q). При t=(3;0) наш трикутник переходить у A′(4;1),B′(7;1),C′(5;3). Недостатньо посунути лише вершину A — та сама зміна потрібна всім точкам.

Чому відстань не змінюється? Різниці координат образів містять (x₂+p)−(x₁+p)=x₂−x₁ та аналогічно для y; додані числа скорочуються у формулі відстані. За нульового вектора перенесення є тотожним рухом.

Дві дії: порядок перевіряємо на точці

Нехай R — поворот 90° навколо початку, T — перенесення на (3;0). Для P(2;1):

Спершу R, потім T: (2;1)→(−1;2)→(2;2).
Спершу T, потім R: (2;1)→(5;1)→(−1;5).

Результати різні. У записі T∘R першою виконується права дія R: T(R(P)). Композиція двох рухів знову зберігає відстань: друга дія зберігає відстань після першої, а перша — початкову. VCAA–AMSI, перетворення й композиції.

З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Довільний поворот і повернення назад

Для центра O(a;b) спершу віднімаємо координати центра, повертаємо, потім додаємо їх назад:

$x'=a+(x-a)\cos\alpha-(y-b)\sin\alpha,$

$y'=b+(x-a)\sin\alpha+(y-b)\cos\alpha.$

Для цих формул однаково придатні градуси чи радіани за умови відповідного режиму синуса й косинуса. Обернений поворот має кут −α; обернене перенесення — вектор −t; осьове відбиття, виконане двічі, дає тотожність. Не всі композиції виглядають як одна з чотирьох показаних дій: відбиття з перенесенням уздовж осі може дати ковзне відбиття. Повна класифікація тут не потрібна.

Для суміщення елемента креслення записуємо не лише назву руху, а його параметри та порядок: вісь; центр і напрямлений кут; або вектор. Потім перевіряємо відповідні вершини й відстані між ними.