Два круглі контури мають радіуси 40 і 25 мм. На якій відстані повинні бути їхні центри, щоб контури торкалися ззовні? 65 мм — сума радіусів. Але є також внутрішній дотик при 15 мм. Щоб не змішати ці випадки, розберімо, що саме порівнюємо.
Коло — всі точки площини на фіксованій додатній відстані від центра. Круг містить і коло, і всю внутрішню область. Дотична до кола має з ним одну спільну точку й перпендикулярна до радіуса в цю точку. Передумови: відстань до прямої та нерівність трикутника.
Радіус, діаметр і хорда
Відрізок від центра O до точки кола — радіус; так само називаємо його довжину R. Хорда сполучає дві різні точки кола. Якщо хорда проходить через центр, це діаметр, його довжина:
D = 2R.
Діаметр — найдовша хорда. Для іншої хорди AB точки O,A,B утворюють трикутник, тому AB менше за AO+OB=2R. Не кожна хорда є діаметром і не кожний відрізок від центра є радіусом: кінець радіуса має бути на колі. Означення AMSI.
Пряма: немає перетину, дотик чи січна
Позначимо h відстань від O до прямої — довжину перпендикуляра. Порівнюємо її з R. Якщо h>R, спільних точок немає. Якщо h=R, є одна точка дотику T. Якщо h<R, є дві точки, а пряма називається січною.
Чому в точці дотику виходить прямий кут? Найближчою до O точкою прямої є основа перпендикуляра. Коли ця відстань дорівнює R, основа лежить на колі, а всі інші точки прямої — далі за R, тобто зовні. Отже, пряма торкається кола саме тут. Для дотичної радіус OT є цим перпендикуляром. Евклід III.18.
Два кола: порівнюємо суму й різницю
Нехай радіуси R≥r>0, відстань між центрами d≥0. Усі довжини записуємо в одній одиниці. Є такі випадки:
| Умова | Що відбувається з колами |
|---|---|
| d>R+r | Розділені ззовні: 0 спільних точок |
| d=R+r | Зовнішній дотик: 1 точка |
| R−r<d<R+r | Перетин: 2 точки |
| d=R−r>0 | Внутрішній дотик: 1 точка |
| 0≤d<R−r | Одне всередині іншого без дотику: 0 точок |
| d=0 та R=r | Кола збігаються: нескінченно багато точок |
Радіус, хорда й дотична
Розділені ззовні
Спільних точок: 0
Зовнішній дотик
Спільних точок: 1
Дві точки перетину
Спільних точок: 2
Внутрішній дотик
Спільних точок: 1
Вкладені без дотику
Спільних точок: 0
Концентричні, різні радіуси
Спільних точок: 0
Те саме коло
Спільних точок: ∞
Якщо спільна точка T не лежить на прямій центрів, вона разом із центрами утворює трикутник зі сторонами R,r,d. Його строгі нерівності дають R−r<d<R+r; дві дзеркальні позиції T дають дві точки перетину. На межах трикутник сплющується, і лишається одна точка дотику на прямій центрів. Внутрішній дотик, зовнішній дотик.
Різні кола не можуть мати більше двох спільних точок. Водночас при однакових центрах і радіусах це вже те саме коло. Саме тому до умови внутрішнього дотику дописано «>0». Евклід III.10.
Однаковий центр за різних радіусів дає концентричні кола без спільних точок. Однакові радіуси за різних центрів не роблять кола однаковими.
Повернення до круглих деталей
Для радіусів 40 і 25 мм зовнішній дотик контурів має d=40+25=65 мм. Внутрішній — d=40−25=15 мм: наприклад, малий диск зміщено всередині круглого отвору до контакту з його краєм.
При 15<d<65 мм контури перетинаються у двох точках. Це не означає, що заповнені круги мають лише дві спільні точки: їхні внутрішні області також перекриваються. Спочатку назвіть об’єкт — коло чи круг, — а потім застосовуйте таблицю.