Fracciones, proporciones y porcentajes sin confusión

Una etiqueta ofrece un descuento del 20% y después otro del 10%. Parece que suman un 30%. Pero un precio hipotético de 1000 unidades pasa a 720: la reducción es del 28%. El segundo 10% se calcula sobre otra cantidad. Un porcentaje siempre expresa una parte de una base indicada. La base es la cantidad que tomamos como el 100% en ese cálculo.

Las definiciones de números fraccionarios están en la primera lección sobre conjuntos numéricos. Aquí nos centraremos en qué comparamos.

Una receta como proporción

Para cuatro raciones iguales hacen falta 300 g de cereal. Para seis tomamos $6/4=3/2$ veces esa cantidad: $300\cdot3/2=450$ g. Una razón es el resultado de dividir una cantidad entre otra; aquí, 300 g / 4 raciones = 75 g por ración. Conservamos esa razón:

\frac{300}{4}=\frac{450}{6}=75.

La igualdad entre dos razones se llama proporción. Los numeradores son gramos y los denominadores, números de raciones, con el mismo orden en ambos lados. Al comprobar los productos cruzados obtenemos $300\cdot6=450\cdot4=1800$ . Funciona porque ambos denominadores son distintos de cero: podemos multiplicar la igualdad por su producto. Definición y condiciones en OpenStax, §6.5.

No todo en la cocina cambia a la misma escala: conservar la masa por ración no demuestra que también debamos multiplicar el tiempo de cocción por 3/2.

Al operar con fracciones importa el tamaño de cada parte. Para sumar $3/4$ y $1/2$ de litro, expresamos ambas cantidades en cuartos: $3/4+2/4=5/4$ de litro. No sumamos los denominadores: indican el tamaño de las partes. Para hallar la mitad de $3/4$ de litro multiplicamos: $1/2\cdot3/4=3/8$ de litro. Dividir entre $3/4$ equivale a multiplicar por su inverso, $4/3$ ; el cero no tiene inverso multiplicativo.

Un porcentaje expresa centésimas de una base

1% = 1/100, de modo que 20% = 20/100 = 1/5 = 0,2. Son formas distintas de escribir la misma parte. OpenStax, §6.1: conversión entre porcentajes, fracciones y decimales.

Qué buscamos	Ejemplo con base 1000
Una parte dado el porcentaje	El 20% de 1000: 1000 · 0,2 = 200
El total dada una parte	Si 200 es el 20%, el total es 200 / 0,2 = 1000
El porcentaje dados la parte y el total	200 de 1000: 200 / 1000 · 100% = 20%

La proporción de la segunda fila es distinta de cero; la base de la tercera también. Un porcentaje puede superar el 100%: el 150% de una receta es una vez y media sus cantidades originales.

Por qué no sumamos los descuentos

Tras descontar el 20% queda el 80% del precio original: $1000\cdot0{,}8=800$ . El segundo descuento resta el 10% de 800, es decir, 80 y no 100. Quedan $800\cdot0{,}9=720$ .

Paso 1 · base 1000 · −20%

Paso 2 · nueva base 800 · −10%

■ Restante▱ Descuento

Las dos barras tienen la misma escala: la primera completa representa 1000 unidades monetarias hipotéticas. El 20% de 1000 es 200, pero el 10% de los nuevos 800 es solo 80. La reducción total es 280, un 28% del precio inicial.

Hemos restado 280 unidades de las mil iniciales: $(1000-720)/1000=0{,}28=28\%$ . También podemos multiplicar directamente las fracciones conservadas: $0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72$ . Sumar el 20% y el 10% serviría si ambos descuentos se calcularan por separado sobre los 1000 iniciales. Esa es otra condición y hay que comprobarla.

Porcentajes y puntos porcentuales

Supongamos que la proporción de una categoría pasa del 10% al 12%. La diferencia es de 2 puntos porcentuales: 12 − 10 = 2. El aumento relativo de la propia proporción es del 20%: $(12-10)/10\cdot100\%=20\%$ . Responden a preguntas diferentes. La explicación oficial de ONS define el punto porcentual como la diferencia entre porcentajes.

Para calcular el cambio porcentual dividimos la diferencia entre el valor anterior. Si es cero, el cálculo no está definido: pasar de 0 a 5 no es un incremento porcentual finito respecto de cero.

Rama · ComprobaciónPuedes omitir este ejemplo adicional de cambio de base.

Por qué subir un 20% no anula bajar un 20%

Después de bajar de 1000 a 800, un aumento del 20% solo da $800\cdot1{,}2=960$ . Para volver a 1000 debemos añadir 200 respecto de los 800 actuales: $200/800=0{,}25=25\%$ . La operación inversa de multiplicar por 0,8 es dividir entre 0,8, es decir, multiplicar por 1,25.

Antes del próximo cálculo porcentual añade las palabras «¿respecto de qué?». En la receta la base son cuatro raciones; en el segundo descuento ya es 800; en el cambio relativo de una proporción es el 10% anterior. Elegir la base determina la operación correcta.