Derece funktsiyaları: miqyas neticeni neden deñiştire

Kubnıñ qırasını 2-den 4 cm-ge büyüteyik. Uzunlıq eki qat, bir yüzniñ meydanı 4-ten 16 cm²-ge, acim 8-den 64 cm³-ge arta. Miqyasnı bir kere deñiştirmek derece köstericisine köre farqlı netice çarpanları bere.

Kökler ve ratsional dereceler ve grafiklerni oquv kerek. Geometrik miqyaslavda bütün uyğun uzunlıqlar birdey qat deñişe; şekiller beñzer qala.

Kösterici sabit, esas deñişken

Derece funktsiyası $f(x)=kx^a$ şeklinde: $k$ ve $a$ sabit, $x$ deñişe. Misaller: öz saalarında $x$ , $x^2$ , $x^3$ , $1/x=x^{-1}$ ve $\sqrt x=x^{1/2}$ . $2^x$ -te ise kösterici deñişe; bu eksponentsial funktsiya, derece funktsiyası degil. Tarif, OpenStax §5.2.

$x>0$ ve musbet miqyas çarpanı $s$ içün $f(sx)=s^a f(x)$ . $a=1,2,3$ olsa, eki qat artuv 2,4,8 çarpanlarını bere. $a=-1$ olsa, yarısını; $a=1/2$ olsa, $\sqrt2$ , taqriben 1,414-ni bere: yarısı da degil, eki qat da degil.

Natural köstericiniñ çiftligi

Musbet bütün $n$ içün $x^n$ bütün aqiqiy doğrusında belgili. $n$ çift olsa, $(-x)^n=x^n$ : grafik tik oqqa köre simmetrik, qıymetler menfiy degil. Soldan sıfırğa qadar eksile, sağdan arta; minimum 0.

$n$ tek olsa, $(-x)^n=-x^n$ : grafik başlanğıçqa köre simmetrik ve bütün doğrusında arta. Qıymetler saası bütün aqiqiy sayılar. Bunıñ içün menfiy sayınıñ kub kökü bar, amma aqiqiy kvadrat kökü yoq.

Beş derece qaidesi

y = x
y = x²
y = x³
y = √x
y = 1/x

Bir oqlar, şartlı birimler. Pencere: −2≤x≤2, −4≤y≤4. Kvadrat kök x=0-dan başlana; 1/x-niñ eki dalı birleşmegen. Pencereden tış qısımlar kösterilmegen.

$0<x<1$ -de daa büyük musbet kösterici daa kiçik qıymet bere: $x=1/2$ -de $x=1/2$ , $x^2=1/4$ , $x^3=1/8$ . $x>1$ içün sıra ters. «Kub er vaqıt kvadrattan büyük» demek saasız yañlış.

Menfiy kösterici sıfırnı çıqara

$x\ne0$ içün $x^{-n}=1/x^n$ . $x^{-1}$ grafiginiñ eki dalı bar ve işareti $x$ -nen birdey; $x^{-2}$ -niñ eki dalı da musbet. Ekisi de sıfırda belgilenmegen. Üzülgen yerniñ eki tarafındaki eğrini tik sızıqnen birleştirmek olmaz.

Sıfır kösterici $x\ne0$ içün $x^0=1$ bere. Bu kursta $0^0$ -nı belgilemeymiz. Sıfırnıñ musbet derecesi, o derece belgili olsa, sıfırdır.

Kesirli köstericiniñ saasını kök belgiley

$x>0$ , bütün $p$ ve natural $q$ içün $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$ dep belgileymiz. Musbet $p/q$ olsa sıfırnı qoşmaq mümkün, menfiy olsa mümkün degil. $x^{1/2}$ saası $[0,\infty)$ , $x^{-1/2}$ saası $(0,\infty)$ . Kvadrat kök arta ve yalñız menfiy olmağan qıymetler bere. Kub kökü $\sqrt[3]x$ bütün doğrusında belgili ve arta. Kökler ve dereceler, OpenStax §1.3.

Dal · Saa aqqında kelişüvUmumiy derece qaideleri musbet esasta emin; mında ayrı keñişletüv.

Ratsional kösterici ve menfiy esas

$x<0$ -ğa yol bermek içün evvel $p/q$ -nı daa qısqartılmaycaq, $q>0$ kesir olaraq yazamız. $q$ tek olsa, $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$ dep belgileymiz. Meselâ, $(-8)^{1/3}=-2$ , $(-8)^{2/3}=4$ . $q$ çift olsa, menfiy $x$ içün aqiqiy qıymet yoq. Menfiy köstericide sıfır kene çıqarıla.

Bu kelişüv itiyat talap ete: $2/6=1/3$ , demek $(-8)^{2/6}=-2$ , amma $(({-8})^2)^{1/6}=64^{1/6}=2$ . Derecelerni başqa türlü toplamaq cevapnı deñiştirdi. Musbet esas qaidelerini şartsız menfiy esasqa köçürmek yaki saanı kösterici yazuvında gizlemek olmaz.

Kösterici neticeniñ miqyasını yalñız saa ile beraber añlata. Evvel esas işareti ve sıfırnı teşkeriñiz, soñ miqyaslarnı qarşılaştırıñız: geometrik uzunlıq, meydan ve acim birdey artmamalı.