Yassı planda üç belge bar. Er birinden aynı mesafede yatqan noqta kerek. «Közge körüngen orta» bunı teminlemey. Mesafe şartlarını doğrularğa çevirmek, olarnıñ kesişüvinden tam cevap almaq yahşıraq.
Noqtalarnıñ geometrik yeri — berilgen bölgede belli şartnı yerine ketirgen bütün noqtalar. Üçköşelik töpelerinden keçken çember merkezini orta perpendikulârlar, üç tarafqa toqunğan çember merkezini içki bissektrisalar ile tapamız. Üç hususiy kesik ve çember tarifi kerek. Bütün noqtalar bir Evklid düzleminde.
Eki yönelişni de teşkermek kerek
Bir doğrunı geometrik yer dep atamaq içün eki şeyni isbat etemiz: er noqtası şartnı yerine ketire ve bu şartlı er noqta doğruğa ait. Yoqsa bazı çezimlerni coymaq ya da artqaç noqtalar qoşmaq mümkün.
Meselâ, O-dan R>0 mesafedeki bütün noqtalar çemberdir. Daireniñ içi mında kirmey: anda mesafe R-den kiçik.
Eki belgege teñ mesafe
A ve B farqlı, M ise AB-niñ orta noqtası olsun. M-den AB-ge perpendikulâr keçken doğru — orta perpendikulâr. O, şu şartlı P noqtalarınıñ geometrik yeridir:
PA = PB.
P bu doğruda ve P≠M olsa, PMA ve PMB doğru köşeli üçköşelikleri eki katetke köre teñ: PM ortaq, MA=MB. Demek PA=PB. M-niñ özü içün teñlik orta noqta tarifinden çıqa.
Tersine, PA=PB ve P, AB-de yatmasa, PAB üçköşeligi teñ yanlıdır. Onıñ PM medianası yüksekliktir, demek P kerekli perpendikulârda. P, AB-de yatsa, mesafeler yalnız M-de teñleşe. Böylece noqta coymadıq ve qoşmadıq. AMSI qurulışı ve isbatı.
PA = PB: orta perpendikulâr
PH = PK: içki bissektrisa
O ve I — farqlı merkezler
Köşeniñ taraflarına teñ mesafe
180°-den kiçik sıfır olmağan köşeniñ içindeki noqtalar içün taraf doğrularına teñ mesafeler içki bissektrisanı belgiley. Mesafe — ihtiyariy qıya kesik degil, perpendikulârnıñ uzunlığı.
Sızmada OP köşeni yarılay, PH ve PK teñ perpendikulârlardır. Teñ sivri köşeler ve ortaq OP gipotenuzası doğru köşeli üçköşeliklerni teñ ete. Tersine, teñ perpendikulâr-katetler ve ortaq gipotenuza O-daki köşelerniñ teñligini bere. İçki bölge şartı müim: bütün düzlemde bissektrisa doğrularınıñ başqa dalları da bar. Evklid IV.4 izaatı.
Üç belgeden keçken çember: tışqa sızılğan
ABC üçköşeliginde AB ve BC-ge orta perpendikulârlar keçiremiz. Olar parallel degil: yoqsa parallel doğrularğa perpendikulâr AB ve BC de parallel olup, üçköşelik teşkil etmez edi.
O — olarnıñ tek kesişüv noqtası olsun. OA=OB ve OB=OC, demek:
OA = OB = OC = R.
Merkezi O ve radiusı R olğan çember bütün töpelerden keçe — bu tışqa sızılğan çember. Başqa merkez olmaz: o da aynı eki perpendikulârnıñ kesişüvinde olmalı edi. Evklid IV.5.
Sivri köşeli üçköşelikte O içerde; doğru köşelide gipotenuzanıñ ortasında; küt köşelide tıştadır. Bir doğrudaki üç farqlı noqtadan çember keçmez: doğrunıñ çember ile eñ çoq eki ortaq noqtası bar.
Üç taraf arasındaki çember: içke sızılğan
Eki içki bissektrisa üçköşelikniñ içinde I-de kesişe. A ve B-niñ yarım köşeleri müsbet, toplamları 90°-den kiçik, demek şavleleri parallel degil. Kesişüv noqtası er eki içki köşege ait, yani üçköşelikniñ içinde.
Bissektrisa hususiyetine köre I, AB ve AC-den, AB ve BC-den teñ uzaqta — demek, üç taraf doğrusından da.
Ortaq perpendikulâr mesafeni r dep atayıq. Merkezi I ve radiusı r olğan çember üçköşelikniñ içinde yata ve bütün taraflarına toquna — bu içke sızılğan çember. AC ve BC-ge teñ mesafeler I-ni üçünci içki bissektrisağa da qoya. Başqa içki merkez aynı bissektrisalar kesişüvi olmalı, demek çember tektir. Evklid IV.4.
I er vaqıt içerde ve umumiyetle O-dan farqlıdır. Üç töpege teñ mesafe ve üç tarafqa teñ mesafe — ayrı vazifeler. Üç belge içün O, üç kenar arasındaki yuvarlaq kontur içün I kerek.