Qıyıq tayav uzunlığı 5 m, aşağı soñu vertikalnıñ ayağından 3 m uzaq. Qurulmanıñ yüksekligi 5 m degil. Bu ölçülerni nasıl bağlamalı ve yerdeki angi doğru tayavğa perpendikulyar olacaq?
Tüzlemge perpendikulyar doğru, ayağından keçken er tüzlem doğrusı ile tik köşe qura. Teşkerüv içün ayaqta kesişken eki ayrı doğru yeterli. Yükseklik, qıyıq kesik ve ortogonal proektsiya tiktaraflı üçköşelik qura. Pifagor ve doğrular-tüzlemler kerek.
Eki yöneliş perpendikulyarlıqnı belgiley
l α tüzlemini H-te kessin. l⊥α yazılışı l-niñ α-da H-ten keçken er doğruğa perpendikulyar olğanını bildire. Soñsuz doğrularnı teşkermek şart degil. l⊥a₁ ve l⊥a₂, ayrı a₁,a₂ α-da yatıp H-te kesişse, l⊥α.
a₁,a₂ bir-birine perpendikulyar olmaq mecburiyetinde degil. Müimi — bir tüzlemde eki ayrı yöneliş ve l-niñ ortaq noqtadan keçmesi. Evklid XI.4, alâmet.
Bir tik köşe yeterli degil: tüzlemniñ özünde l⊥a₁ sızmaq mümkün, amma l özüni içergen tüzlemge perpendikulyar olmay. Eki parallel teşkerüv doğrusı da eki mustaqil yöneliş bermey. Mında kesişken perpendikulyar doğrularnı baqamız; çapraz doğrular arasındaki köşelerge soñ qaytarmız.
Perpendikulyar, qıyıq kesik ve proektsiya
P α-dan tış, PH⊥α,H∈α olsun. PH — P-den perpendikulyar kesik, H — ayağı. PH uzunlığı P-den tüzlemge mesafe. Böyle perpendikulyar bar; qurulmasını Evklid XI.11 bere.
Ayaq bir tek. Başqa H′ de ayaq olsa, Pifagor PH′²=PH²+HH′² ve PH²=PH′²+HH′² berir edi. Ekisi birlikte HH′=0, yani H′=H demek. Şunıñ içün K∈α,K≠H olğan er PK — qıyıq kesik, K — onıñ ayağı.
α-ğa ortogonal proektsiyada P H-ke keçe, K ise yerinde qala. Şunıñ içün PK-niñ proektsiyası HK. HK-ni PH ile qarıştırmaymız: PH — yükseklik, HK tüzlemde yata.
α-da eki ayrı yöneliş
Vertikal kesim: 3–4–5
Proektsiyadan qıyıq kesikke
PH H-ten keçken er tüzlem doğrusına perpendikulyar, demek PH⊥HK. Şunıñ içün:
(PK)^(2) = (PH)^(2) + (HK)^(2).
Öz misalimizde HK=3 m,PK=5 m, demek PH=√(25−9)=4 m. Yükseklik 4 m ve başqa qıyıq kesikniñ proektsiyası HL=6 m olsa, PL=√(16+36)=√52≈7,211 m. Er sayı öz kesigine ait, ekran mesafesine degil.
Perpendikulyar neden eñ qısqa
Tüzlemde er K≠H içün HK>0, demek PK²=PH²+HK²>PH² ve PK>PH. Bu, PH-niñ P-den tüzlemge eñ qısqa bağ olğanını isbatlay, yalnız bir mümkün bağ olğanını degil.
Aynı noqtadan aynı tüzlemge qıyıq kesikler ortaq PH yüksekliğine saip. Teñ proektsiyalarğa teñ qıyıq kesikler uyğun ve tersi de doğru. Büyük proektsiyağa uzunraq qıyıq kesik uyğun. Ortaq yüksekliksiz başqa noqtalardan ya da başqa tüzlemlerge kesiklerni böyle teñeştermek olmaz.
Üç perpendikulyar teoreması
a — α-da K-den keçken doğru, HK ise qıyıq PK-niñ sıfır olmağan proektsiyası olsun. O zaman a⊥HK-den a⊥PK çıqa. Ters netice de doğru: a⊥PK-den a⊥HK çıqa.
Üçünci sızmada a tayavnıñ aşağı K soñundan HK-ğa köndelen keçe. Böylece qıyıq kesikniñ özü ile tik köşe qura, amma yassı raqursta bu 90° kibi körünmey bile. a⊂α şartını unutsaq ya da başqa proektsiya alsaq, netice esaslanmağan olur.
Modelimizde P-den tüzlemge mesafe 4 m, a doğrusına ise 5 m: a-ğa perpendikulyar — PK. a-daki başqa X içün PX²=PK²+KX², demek a-ğa daa qısqa bağ yoq. Tüzlemge mesafe ve onıñ içindeki doğruğa mesafe — ayrı meseleler.
Mesafeler ile isbatİhtiyariy · keçmek mümkün
Eki yönlü netice neden doğru
a-da K-niñ eki tarafında KU=KV olğan U,V alamız. α-da HK⊥a ve HU=HV şartları teñmanalı: bu orta perpendikulyar hususiyeti. PH yüksekligi PU²=PH²+HU² ve PV²=PH²+HV² bere. Demek HU=HV eger ve yalnız eger PU=PV olsa.
PUV üçköşeliginde K — UV ortası. Şunıñ içün PU=PV, PK medianasınıñ yükseklik olmasına, yani PK⊥a-ğa teñmanalı. Bu zincir teoremanıñ eki yönünü de isbatlay. HK≠0 müim: K=H olsa, öz perpendikulyarımız bar, sıfır proektsiyanıñ yönelişi belgilenmegen.
Feza meselesinde evvel H ayağını, soñ HK proektsiyasını, ondan soñ PK qıyıq kesigini ve kerek a doğrusını tapamız. Böylece qıyın raqurs esaslanğan tiktaraflı üçköşeliklerge çevirile. Sızmanı teşkermek — modelni teşkermek, perspektivanı ölçemek degil.