Kökler ve kesirli dereceler: çarpımnı keri çevirmek

Kvadrat panelniñ meydanı 16 m². Tarafı 4 m, çünki $4\cdot4=16$ . Acmi 27 m³ kub qutunıñ qırı 3 m, çünki $3\cdot3\cdot3=27$ . Kök çıqaruv sayını onıñ derecesinden qaytara, amma çift derecede işaretni saylamaq kerek.

Sayılı çoqluqlarğa, derecelerge ve mümkün qıymetler şartlarına tayanamız. Kvadrat meydanı $S=s^2$ ve kub acmi $V=s^3$ formulları eki ve üç birdey uzunlıqnıñ çarpımıdır.

Meydan = taraf × taraf; acim = qır × qır × qır. Uzunlıqlar müsbettir. Sızmalar ayrıdır; kub perspektivası şartlı, eki sızmanıñ ölçüleri qıyaslanmay.

Bir kök işareti, eki mümkün sayı

Arifmetik kvadrat kök $\sqrt a$ — kvadratı $a$ -ğa teñ olğan menfiy olmağan sayıdır. Aqiqiy netice içün $a\ge0$ kerek. Demek, $\sqrt{16}=4$ , $\pm4$ degil; $\sqrt0=0$ .

$x^2=16$ -nı hangi sayılar qanaatlandıra — başqa sual. Eki sayı bar: 4 ve −4, çünki eki kvadrat da 16-ğa teñ. Panelniñ menfiy uzunlığı uyğun degil, amma menfiy sayı sayısal teñlemeniñ doğru çezimidir. OpenStax §1.3-te arifmetik kök.

Bundan $\sqrt{x^2}=|x|$ . Modul $|x|$ — $x$ -ten sıfırğa mesafe: $x\ge0$ olsa $x$ , $x<0$ olsa $-x$ . Meselâ, $\sqrt{(-5)^2}=5$ , −5 degil. Kvadrat başlanğıç işaretni yoq ete; kök onı avtomatik qaytarmay.

Çift ve tek kök köstergiçleri

$\sqrt[n]a$ yazılışında tam $n\ge2$ kökniñ köstergiçidir. Neticeni $n$ -ci derecege kötersek, $a$ çıqa; çift $n$ içün menfiy olmağan neticeni saylaymız.

Çift köstergiçte kök astındaki sayı menfiy olmamalı. Tek köstergiçte er aqiqiy sayı mümkün: $\sqrt[3]{-27}=-3$ , çünki $(-3)^3=-27$ . Tek derece işaretni saqlay, şunıñ içün eki türlü saylav yoq. Qutunıñ menfiy acmi fizikiy mana taşımaz; menfiy kub kök cebir amelidir.

Radikallarnı sadeleştirmek

$a,b\ge0$ içün $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ : sağdaki çarpım menfiy degil, kvadratı ise $ab$ . Nisbet içün $a\ge0,b>0$ kerek: $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ . Demek, $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ .

Evvel sadeleştiremiz, soñra birdey radikallarnı toplaymız: $\sqrt{18}+\sqrt8=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2$ . Toplam içün böyle qaide yoq: $\sqrt{9+16}=5$ , amma $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ . İşaretler de müim: $\sqrt{(-1)(-1)}=1$ , amma ayrı $\sqrt{-1}$ aqiqiy sayılarda belgilenmegen.

Kesirli köstergiç aynı amelni yaza

$a>0$ , tam $m$ ve tam $n\ge2$ içün belgileymiz:

a^{m/n}=(\sqrt[n]a)^m.

Köstergiçniñ paydası kökni, payı dereceni bildire. Meselâ, $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ , $16^{-1/2}=1/\sqrt{16}=1/4$ .

Müsbet esaslarda qaideler saqlana: $a^pa^q=a^{p+q}$ , $(a^p)^q=a^{pq}$ ve $(ab)^p=a^pb^p$ ; bunda $a,b>0$ , $p,q$ ratsional. Sıfır esas içün müsbet köstergiçlerge izin beremiz, amma sıfır ve menfiylerge yoq. Menfiy esaslarnı ayrı incelemek kerek: tek kökniñ mevcutlığı bütün qaidelerni şartsız qullanmağa izin bermey.

Tarmaq · DeñiştirmeKvadratlarnıñ farqınıñ daa bir qullanılışı.

Paydadan kökni çıqarmaq

Pay ve paydanı qoşma ifade $\sqrt3-1$ -ge çarpamız:

\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{\sqrt3-1}{2}.

Qoşma ifadeler azalar arasındaki işaretnen farqlana. Çarpan sıfır degil, demek qıymet saqlana. Deñişken şey şekildir, doğrulıq degil: eki yazılış da tamdır.

Kök belli işaret qaidesinen miqdarnı onıñ derecesinden qaytara. Radikallarnı deñiştirmeden evvel kök astını ve paydalarnı teşkermek kerek; qısqa formul bu şartlarnı yoq etmez.